Suite complexe dans un disque

C'est bien compliqué ! Soit $z$ le centre du disque, $r$ son rayon et soit $(u_n)$ la suite. Pour tout $n$, on a : $|z-u_n|\le r$. Comme le module est une fonction continue (c'est l'inégalité triangulaire), il vient : $|z-\lim_{n\to\infty}u_n|\le r$.

Edit : sans parler de continuité, juste avec l'inégalité triangulaire, on peut écrire (avec $\ell=\lim_{n\to\infty}u_n$) :
\[\forall n\in\N,\quad \bigl||z-\ell|-|z-u_n|\bigr|\le|u_n-\ell|.\]

Bonsoir,

Je pense que l'on a :
$$
\mid | z_n| -| z| \mid\leq |z_n-z|
$$
Donc si $(z_n)$ tend vers $z$, alors $(|z_n|)$ tend vers $|z|$.

Ton hypothèse est $|z_n| \leq 1$ et tu veux déduire que $|z| \leq 1$