Suite complexe dans un disque
dans Topologie
Bonsoir,
j'ai une suite à termes complexes, à valeurs dans un disque fermé, que je sais convergente - est-il évident que sa limite appartient au disque ?
j'ai une suite à termes complexes, à valeurs dans un disque fermé, que je sais convergente - est-il évident que sa limite appartient au disque ?
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Réponses
Suppose que la limite soit en dehors du disque fermé D. Tu peux prendre un disque ouvert D', centré sur la limite et entièrement extérieur à D (par exemple de rayon moitié de la distance de la limite au disque D). ce voisinage de la limite contient des termes de la suite, qui sont pourtant dans D. Contradiction.
Cordialement.
Edit : sans parler de continuité, juste avec l'inégalité triangulaire, on peut écrire (avec $\ell=\lim_{n\to\infty}u_n$) :
\[\forall n\in\N,\quad \bigl||z-\ell|-|z-u_n|\bigr|\le|u_n-\ell|.\]
Je pense que l'on a :
$$
\mid | z_n| -| z| \mid\leq |z_n-z|
$$
Donc si $(z_n)$ tend vers $z$, alors $(|z_n|)$ tend vers $|z|$.
Ton hypothèse est $|z_n| \leq 1$ et tu veux déduire que $|z| \leq 1$
un appartient au disque, donc |un-z| <= R.
Par passage à la limite, lim |un-z| <= R.
Or lim |un-z| = |lim (un-z)| (preuve par inégalité triangulaire, sur définition de la limite)
= |L-z|
donc |L-z| <= R