Base dénombrable de voisinages

b.b · November 2017

Bonsoir

Dans la définition des espaces séparables, « first-countable » (tels que tout point admet un système fondamental de voisinages dénombrable) et « second-countable » (à base dénombrable d'ouverts), quelle définition de « dénombrable » est-elle la plus pertinente ? En bijection avec une partie de $\N$ ou avec $\N$ tout entier ?

Merci

b.b · November 2017

Bon, ça ne voulait rien dire, je modifie ma question.

On dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $\N$. Quels sont alors les choix les plus pertinents entre « dénombrable » et « au plus dénombrable » dans les définitions de chacune des notions suivantes : séparable, first-countable et second-countable ?

Georges Abitbol · November 2017

La convention est que le mot "dénombrable" dans les définitions de "séparable", "localement de base dénombrable" et "de base dénombrable", veut dire "en bijection avec une partie de $\mathbb{N}$".
Sans quoi un espace métrique fini risquerait de ne pas être séparable, ce qui serait bof. [EDIT : Ni localement de base dénombrable, ni de base dénombrable, d'ailleurs...]