Espaces non normalisables ?

superpower
superpower
dans Topologie
Bonjour,
Est-ce que vous savez s’il existe de espaces vectoriels sur lesquels il n’y a pas de norme ?
Merci d’avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Oui, tout espace vectoriel sur un corps de caractéristique positive. Encore une question bien posée...
  • superpower
    superpower
    Mais pour les espaces vectoriels sur les corps de caractéristique zéro valués?
  • superpower
    superpower
    Personne ne sait?
  • Seirios
    Seirios
    Bonjour,

    Une conséquence de l'axiome du choix est que tout espace vectoriel admet une base. À partir de cette observation, il est facile de construire une norme (je me place disons dans le cas réel ou complexe). Sans l'axiome du choix, ce n'est pas nécessairement possible. Voir cette discussion.
  • mojojojo
    mojojojo
    À part ça je crois qu'on dit normable, et pas normalisable, même si mon correcteur orthographique s'énerve.
  • superpower
    superpower
    Parce que j’ai trouvé une norme sur tout espace vectoriel sur un corps de caractéristique zéro valué

    On définit d’abord la boule unité c’est $B’=\cap_X e^{**-1}(B)$ où $X$ est une base de l’espace et $e^{**}(f)=f(e)$ dans le bidual et $B$ est la boule unité du corps

    Puis on définit la norme $||e||=sup_{B’} |f(e)|$

    Est-ce que vous pensez que le dual d’un espace pour cette norme est toujours complet?
  • superpower
    superpower
    À quelle norme tu pensais seirios?
  • Chalk
    Chalk
    Regarde les normes que tu connais en dimension finie, et regarde ce que ça donne dans le cas de Seirios.
  • Tryss
    Tryss
    Tu dis deux choses :
    - "$X$ est une base de l’espace"
    - "$B$ est la boule unité du corps" (donc une norme $|.|$ sur ton corps)

    En supposant ces deux trucs, il suffit de poser :

    Soit $x = \sum_{k=0}^n a_k e_{\sigma_k}$ une décomposition de $x$ sur ta base $X$, alors il suffit de poser

    $\| x\| = \sup |a_k|$, ou $\| x \| = \sum_{k=0}^n |a_k|$, ou tout autre norme habituelle en dimension finie.
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