Application Continue?

$\delta \in \R$ ? $\R = Y$ ?

(ajout d'un edit2 car en fait, je me rends compte que l'on ne sait pas si y est fixé)

Concernant l'existence, si l'on prend l'ensemble :
$D = \{\delta \in \R : d(x,y)\leq \delta \implies d'(f(x),f(y))\leq \epsilon , y \in X\}$

L'ensemble est non vide car $0 \in D$ (avec x=y)
Et comme $(X,d)$ est un espace métrique compact, $X$ est borné, donc :
$sup \{\delta \in \R: d(x,y) \leq \delta , y \in X\}$ existe, et de là, j'en déduirais l'existence de $sup(D)$

Pour le reste de la question, j'y réfléchirai après les courses...

edit : ajout des $y$ dans les ensembles.
edit 2 : En fait, il y a un truc qui ne me revient pas trop. Ton $y$ est fixé ?
Où c'est : $\{\delta \in \R : \exists y \in X, d(x,y)\leq \delta \implies d'(f(x),f(y))\leq \epsilon \}$
(ce qui serait bizarre, car y=x vérifie toujours l'implication)

Si je remplace dans ta définition $\leq \epsilon$ par $<\epsilon$ (et donc max par sup) alors la réponse est oui: soit $x\in X$ et $\eta >0$. On note $\delta = f(x)$. Pour $d(x,y) < \delta$, on a $d'(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Soit $z$ quelconque. Alors $d'(f(z), f(y)) \leq d'(f(z), f(x)) + d'(f(x), f(y))$.

Donc si $z$ est suffisamment proche de $x$, $d'(f(z), f(x))$ est petit, et alors avec $y$ presque $\delta$-proche de $z$, $y$ est $\delta$-proche de $x$, et donc $d'(f(x), f(y))$ est petit.

Plus précisèment, $d(x,y) \leq d(x,z) + d(y,z)$ donc si $d(x,z) < \mu$ ($\mu$ à choisir plus tard) et $d(y,z) \leq \delta -\mu$, alors $d(x,y) <\delta$ et donc $d'(f(x), f(y))< \epsilon$. Si $\mu$ est suffisamment petit pour que $d'(f(x), f(z)) + d'(f(x), f(y))< \epsilon$, alors on aura bien ce qu'on veut. Donc en fait pour $\mu$ suffisamment petit, on a que pour $z$ à distance $<\mu$ de $x$, $h_\epsilon(z) \geq \delta - \mu$. On fait de même dans l'autre sens pour obtenir la continuité.

Si tu laisses le $\leq \epsilon$, j'imagine qu'on peut s'en sortir en disant qu'en fait les deux fonctions sont égales. Je raconte peut être n'importe quoi puisque je ne l'ai pas écrit sur un papier

Que souhaitais-tu démontrer à la base ? Car il semblerait que tu souhaites démontrer le théorème de Heine ?

Je connais deux preuves, soit par contraposée via la caractérisation séquentielle d'un compact (probablement ce que tu avais fait)

Soit en utilisant directement la propriété de recouvrement du compact, dont une preuve est disponible ici : lien (la preuve est fait dans un intervalle de$\R$, mais cela fonctionne dans tout compact)

(edit : compact d'un espace métrique)