Evt à base dénombrable de voisinages de 0

La topologie d'un e.v.t X est invariante par translation. La preuve n'est pas difficile

Remplacez dans X

Bonsoir, c'est la propriété d'invariance par translation que vous dîtes. Moi je ne vous comprend pas bien. Pardon soyez un peu plus explicite. Quand je disais dans X c'est parce-que la suite généralisé est une suite de points de X.

C'est exactement l'énoncé qui nous a été donné. Juste après ça la remarque suivante : si X est à base dénombrable de voisinages de 0, alors toute e.v.t X séquentiellement complet est complet. Où il dit qu'un e.v.t est complet si toute suite généralisée de Cauchy converge .

Et nous utilisons aussi cela dans un exercice. Voici l'énoncé :
Soient $X$ et $Y$ deux e.v.t sur $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$. On considére une application linéaire $f$ de $X$ dans $Y$.
Montrer que :
1) $f$ continue sur $X$ ssi $f$ continue en 0.
2)a) $f$ est continue en $x_{0} \in X$ ssi pour toute suite généralisée $(x_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ tendant vers $x_{0}$ dans $X$, la suite $ \big(f(x_{\lambda})\big)_{\lambda \in \Lambda}$ tend vers $f(x_{0})$ dans $Y$.
2)b) Montrer que si $X$ est à base locale dénombrable de voisinages de 0, alors on peut remplacer suite généralisée par suite ordinaire.
3)a) Si $Y$ est séparé (Hausdorff) et complet, $f$ définie continue sur un sous-e.v.t $M$ de $X$ ,alors $f$ peut être prolongée de manière unique en une application linéaire et continue sur l'adhérence de $M$.
3)b) En déduire que toute forme linéaire et continue sur $M$ se prolonge de façon unique en une forme linéaire et continue sur l'adhérence de $M$.
J'ai fait la question 1) et 2)a) mais le b) je suis bloqué.

Je ne voie pas comment continuer le 2)b) après avoir definir ma base denonbrable de voisinage de 0. J'ai pose un $y_{n}=x_{v_{n}}$ mais la question que je me suis pose est de savoir si mon ensemble dirigé ne correspond qu'aux bases de voisinages des points de X