Ouverts de $\mathbb R^n$

Si c'était vrai ça se saurait.

Ah, bah voilà un truc vrai hallucinant que je ne savais pas :-D
Du coup je vais y réfléchir vu que je suis passé complètement à côté.

skyffer3 écrivait:

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> Si c'était vrai ça se saurait.


Bon là c'est vrai ! Mais sinon c'est le principal "obstacle" à la recherche personnelle quand on est amateur on a parfois de belles intuitions mais on sait déjà que ça sera pas vrai à la fin, car dans le cas contraire : ça se saurait !
Bref j'ai bien aimé ta phrase ^^ .

J'ai oublié la politesse : salut.

Je veux bien voir comment vous feriez pour $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$.

[EDIT : Démo en blanc que ce n'est pas possible]
[EDIT2 : Rajouts de détails]
[EDIT3 : Plus loin, Champ-Pot-Lion remarque que plus simplement, un ouvert connexe qui n'est pas un pavé ne peut s'écrire comme réunion disjointe de pavés ouverts.]

Soit $\mathcal{U}$ un ensemble de produits d'intervalles ouverts deux à deux disjoints qui recouvrent $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$. Notons $D := \{(x,0) \ \vert \ x \in \mathbb{R}^*\} = D_- \sqcup D_+$ (où $D_-$ et $D_+$ sont ce que vous pensez).

Soit $\mathcal{A}$ l'ensemble des $U \in \mathcal{U}$ tels que $U \cap D \not = \emptyset$. L'ensemble des $U \cap D$ tels que $U \in \mathcal{A}$ recouvre $D$, et comme ils sont supposés disjoints, par connexité de $D_-$ et $D_+$, il existe $U_1,U_2\in \mathcal{A}$ tels que $U_1\cap D = D_-$ et $U_2\cap D = D_+$ (en effet, les $U \cap D_-$ sont deux à deux disjoints et sont des ouverts de $D_-$). Il existe donc $x_1 > 0$ tel que $\mathbb{R}^*_- \times ]-x_1,x_1[ \subset U_1$, et $x_2 > 0$ tel que $\mathbb{R}^*_+ \times ]-x_2,x_2[ \subset U_2$, puisque ce sont des produits d'intervalles ouverts. Soit $x < \min\{x_1,x_2\}$. Alors tout ouvert contenant $(0,x)$ doit intersecter $U_1$ et $U_2$, et donc $\mathcal{U}$ ne recouvre en fait pas $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$.

Pardon.

@George Abitbol : Je viens de voir ton ajout. Mais alors pourquoi ne pas dire directement que par connexité par arcs, et donc tout court, le recouvrement par des ouverts disjoints doit être constitué d'un seul ouvert ? Il me semble que c'est l'argument que tu utilises pour l'existence de $U_1$ et $U_2$.

@Champ-Pot-Lion : Misère, tu as bien raison ! Je vais éditer mon message une dernière fois !

C'est possible avec des pavés fermés, il me semble.

Je ne comprends pas, quel résultat applique-ton ? Pour couvrir $\left]0,1\right[$, on peut prendre les intervalles de la forme $[0.a_1\dots a_n 1, 0.a_1\dots a_n 2]$ en ternaire, avec $a_i \in \{0,2\}$ (ça fait comme un arbre). [EDIT : La phrase qui précède est fausse.]

EDIT : Aaah, je voulais dire que l'on peut écrire tout ouvert comme union disjointe des pavés fermés.

Oups, je n'ai pas couvert les points de l'ensemble de Cantor en effet.

@Maxtimax : Ok. Les deux se montrer l'un à partir de l'autre (impossibilité pour l'intervalle ouvert et fermé). L'argument par ensembles inépuisables s'applique aux deux et pour l'intervalle ouvert on peut faire un raisonnement ad-hoc (qui se voit peut-être comme un dépliage du raisonnement plus général, je ne sais pas).

On va associer à toute suite de 0 et de 1 un point de $\left]0,1\right[$. On se donne une suite de 0 et de 1. On commence avec $\left]0,1\right[$. Soit $[a,b]$ l'intervalle de la partition contenant $1/2$. Si on a un 0 en premier dans la suite, on continue récursivement à gauche dans $\left]0,a\right[$ et si on a un 1, on continue dans $\left]b,1\right[$. Cela donne une suite d'intervalles emboîtés dont le rayon tend vers 0, on associe le point limite à la suite dont on s'est servi. Aucun de ces points ne peut être à l'intérieur d'un intervalle de la partition (sinon on se serait retrouvé à l'intérieur dans la procédure, ce qui est impossible). Les suites de 0 et de 1 sont non dénombrables et chaque suite donne un point différent. Mais il y a seulement un nombre dénombrable de points qui ne sont pas à l'intérieur d'un intervalle, contradiction.