Limites épointées et pointées.
Bonsoir cela fait un bon moment que je travaille sur un "article de blog" sur les notions de limites épointées et pointées. étant un élève de lycée (pas en France) je découvris avec horreur[size=small](l'horreur venait surement du fait que c'était déjà difficile de comprendre et d'assimiler certains théorèmes alors quand il fallait en plus douter de leur véracité ...)[/size], qu'il y avait une énorme erreur dans un de mes manuels qui affirmait "le théorème de composition des limites" alors que la définition acceptée et enseignée dans les lycées (de mon pays) était la limite épointée (ce qui pour le coup était tout à fait faux).
Donc cette petite mésaventure m'a un peu poussé à explorer le thème et j'ai consigné tout ce que j'ai appris dans cet article, donc si je pouvais bénéficier de la correction de certains membres du Forum je serai très content et si quelqu'un apprenait quelque chose en le lisant je le serai encore plus !
donc voilà je pense que la partie qui traite d'analyse est plutôt "correcte" quand je commence à parler de topologie et de filtre je ne sais vraiment pas si j'ai pas fait une boulette car j'ai jamais étudié ces notions là en cours.
Merci d'avance !
Donc voici l'article :
La limite est une notion fondamentale en mathématiques, elle est à la base de l'analyse, et un concept moteur de la topologie,cependant dans le contexte de l'analyse sur $\R$ on trouvera deux définitions "différentes" selon les manuels et les pays :
la première : $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon$ (Limite épointée)
La deuxième : $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon$ (Limite pointée)
La différence est subtile ! mais bien présente !
Pour sentir la différence prenons deux exemples de fonctions :
la première : $f :x \mapsto \frac{sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$et $f(x)= 1$q si $x=0$ cette fonction est donc définie et continue sur $\mathbb{R} $
La deuxième : $g: x \mapsto \frac{sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$ $f(x)= 0$q si $x=0$. cette focntion est donc discontinue en 0
Analysons maintenant les limites en 0 de ces deux fonctions selon nos deux définitions
Pour la limite épointée on trouve :
$\lim_{x\mapsto 0}f(x)= 1$ (ce qui montre la continuité.)
$\lim_{x\mapsto 0}g(x)= 1$ (discontinue donc.)
et on constate que ces deux fonctions sont égales partout sauf en 0.
Pour la limite pointée on trouve :
$\lim_{x\mapsto 0}f(x)= 1$ (continuité toujours.)
Et on trouve que $g$ n'admet pas de limite en 0 !
+Et pourquoi cela ?
D'abord constatons que le seul "bon candidat" pour cette limite est 1, on montre aisément que pour une autre valeur la fonction en tends pas vers cette valeur.
Pour 1 : supposons que $\lim_{x\mapsto 0}g(x)= 1$
Posons : $\epsilon=0,5$ d'après la définition de la limite on a l'existence d'un $\delta$ de tel que : $\forall x \in I\cap D_f, |x|<\delta \Rightarrow |g(x)-l|< \epsilon$
on voit alors qu'en prenant $x=0$ (et on a le droit on travaille sur un intervalle I centré en 0)
on a : $|-1|=1<0,5$ ce qui est absurde évidemment
On voit donc déjà une différence entre les deux définitions elles ne sont donc pas équivalentes !
On peut d'ores et déjà se poser une question qui à vrai dire s'impose :
Quand est-ce que ces deux définitions diffèrent et quand est-ce qu'elle s'accordent ?
A - Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ et si elle admet une limite (une des deux) alors ces deux limites sont égales en $x_0$
car dans ce cas là, le cas : $|x-x_0|=0$ est éliminé car $x_0 \notin D_f$
B -si $f$ est définie en $x_0$ et admet une limité (épointée) $l$ mais $l \neq f(x_0)$ alors f n'admet pas de limite (pointée)en $x_0$
même idée que l'exemple déjà cité.
C- si $f$ est définie en $x_0$ et admet une limite (épointée) $l$ avec $l=f(x_0 ) $alors les deux limites sont définies et coïncident
si $|x-x_0 |< \delta $ alors on a deux cas : si $x_0=x$ alors $|f(x_0)-l|=0<\epsilon$ et sinon on conclut avec la définition épointée.
D -les deux définitions sont équivalentes en $+\infty$ et en -$\infty$ (à vrai dire car elle n'a pas de valeurs en ces "points")
E -si la limité pointée existe alors elle est égale à la limite épointée.
car tout simplement ($0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |x-x_0|<\delta$)
F- si $f$ admet une limite pointée en $x_0$ et y est définie alors cette limite est $f(x_0)$
car si ce n'était pas le cas le cas $x=x_0$ pose encore une fois problème.
!Question !: Si on a $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ et $\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$, a-t-on : $\lim_{x \mapsto a}f (g(x))=c$ ?
On aimerait bien en tout cas ! c'est un énoncé assez élégant et harmonieux et qui (souvent) résout bien des problèmes.
Quand cela marche ? (Limite pointée) :
Tout le temps .
Preuve :
traduisons nos définitions :
A ) $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|< \epsilon$
$\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_g, |x-b|<\delta \Rightarrow |g(x)-c|< \epsilon$
C) $\lim_{x \mapsto a}g(f(x))=c$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
Supposons A et B, soit $\epsilon>0$
on a : $\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_g, |x-b|<\delta \Rightarrow |g(x)-c|< \epsilon$
considérons un des ces "$\delta$"$>0$ on a encore :
$\exists \alpha > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|< \delta$
soit maintenant $x \in D_f$
on a : $|x-a|<\alpha \Rightarrow |f(x)-b|< \delta$
et comme $f(x) \in D_g$ (par l'existence même de la fonction $g\circ f$)
on a donc $|f(x)-b|<\delta \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
par transitivité on trouve :
$|x-a|<\alpha \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
c.q.f.d.
Quand cela marche ? (limite épointée.) :
1) $g$ n'est pas définie en b : oui
le cas $f(x)=b$ qui pose problème dans la démonstration du cas de la limite épointée est évacué.
2) $g$ est continue en b : oui
si jamais $f(x)=b$ alors $g(f(x))=c$ alors $|g(f(x))-c|<\epsilon$ quelque soit cet "$\epsilon$"
3) $g$ est discontinue en b : non
contre exemple tout simple : $f: x \mapsto b$, $g: x\mapsto c $si $x \neq b$ et $g(b)=c+1$
on a : $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ et $\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$ (dans le cas pointé cette limite n'existerait pas.) et pourtant ! $\lim_{x\mapsto a}g(f(x))=c+1$
La différence intuitive entre les deux définitions est en réalité toute simple, si on considère la définition épointée on estime alors que le concept de limite est purement local et qu'il dépend exclusivement des voisinages. c'est à dire que deux fonctions qui ont le même comportement au voisinage de $x_0$ (j'entends par là autour de $x_0$ donc rigoureusement un ensemble du type I\{ $x_0$} avec I un intervalle)doivent avoir la même limite même si elle n'ont pas la même valeur en ce point (ce qui est traduit par 0<... dans la définition)
donc par symétrie la définition pointée considère que malgré un comportement au voisinage rigoureusement identique si les images diffèrent alors les limites diffère ou plutôt son existence. (car si elles existent elle ont toujours la même valeur.)
donc en réalité pour la limite pointée il s'agit plus de donner une valeur à la fonction là ou elle n'est pas définie de manière à la rendre continue.
Bon profitons de cet éclairage conceptuel pour généraliser un peu !
jusqu’à présent nous avons parlé de limites dans le contexte strict de $\mathbb{R}$
Mais qu'en est-t-il d'autre "types" d’espaces et de limites ?
Vous l'aurez deviné ou non, parler de limite c'est parler de topologie !
comment s'exprime cette différence de définitions en topologie alors ?
Soit $E$ et $F$ deux espaces topologiques $f : E \mapsto F$ et $x_0 \in E$ et $l \in F$
Donnons les définitions :
$\lim_{x\mapsto x_0 }f(x)=l$ a pour définition : (bien que topologiquement cette écriture est un peu fautive car rien ne nous dit que cette limite est unique.)
Limite pointée : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f(V') \subset V$
Limite épointée : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset V$
$v(a)$ étant l'ensemble des voisinages de a (c'est d'ailleurs un filtre nous le verrons plus tard.)
Remarquons que la différence entre les deux définitions n'est pas dans "le concept même de limite" mais plutôt dans la fonction étudiée, dans le cas épointée on travaille sur $E-\{x_0\}$ plutôt que sur $E$ entier. et cela a du sens. car $f$ et $f_{|E-\{x_0\}}$ sont égales presque partout sauf en $x_0$ et donc d'après "le point de vue" local de la limite elles devraient avoir la même limite.
on peut même affirmer alors que toutes les fonctions qui ont la même restriction i.e. égales partout sauf peut-être en $x_0$ ont la même limite.
D'ailleurs, remarque : la notion de limite peut se voir aussi comme :"manière de donner une valeur cohérente à une fonction en un point où elle n'est pas définie" alors justement la limite épointée considère la fonction "comme si elle n'était pas définie en $x_0$"
Et on a toujours le fait que si la limite pointée existe alors la limite épointée existe et elles sont égales pour la simple raison que : $f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset f(V') $
Remarquons que pour la limite épointée nous avons une autre caractérisation :
$\forall V \in v(l), f^{-1}(V) \cup \{x_0 \} \in v(x_0 )$ , l'équivalence entre les deux définitions n'est pas difficile à démontrer.
Bon passons à quelque chose de plus intéressant les filtres !
Définissons d'abord ce qu'est un filtre engendré par une partie`$P$ de parties d'un ensemble $E$ noté $|P|$
D'abord $P$ doit vérifier :
*$P$ non vide
*$P$ ne contient pas l'ensemble vide.
*L'intersection de deux ensembles de $P$ contient un membre de $P$
tout simplement : $|P|= \{X \in P(E) | \exists A \in P, A \subset X \} $ ($P$ est alors une base du filtre $|P|$).
On a aussi : Un filtre $F_1$ est plus fin qu'un filtre $F_2$ équivaut à : $F_2 \subset F_1$.
Forts de ces définitions Nous avons maintenant la caractérisation en termes de filtres pour la limite (Pointée d'abord ):
Rappelons nous que v(a) ou a est un élément d'n espace topologique est un filtre .
*$|f(v(x_0)) |$ plus fin que $v(l)$
La démonstration est évidente il suffit de réécrire tout cela avec les définitions.
Pour le cas épointée c'est plus délicat :
supposons d'abord que $x_0$ n'est pas un point isolé car sinon la limite épointée n'a aucun sens vu que $\{x_0 \}$ est lui même un voisinage
*$|f(v^{*}(x_0))|$ plus fin que $f(v(l))$
où $v^{*}(x_0)$ est l'ensemble des voisinages de $x_0$ privé justement de l’élément $x_0$
i.e. l'ensemble des $V-\{x_0 \}$ où $V \in v(l)$
Rappelons nous que la définition de la limite épointée est : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset V$
Remarquons ensuite que notre définition à base de filtres peut se réécrire :
$v(l) \subset \{X \in P(E) | \exists V \in v^{*}(x_0 ),f(V) \subset X \}$
c'est à dire $\forall V \in v(l), \exists V' \in v^{*}(x_0 ),f(V') \subset V$
montrons maintenant que :$ f_{E-\{x_0 \}}(V)=f(V-\{x_0 \})$ pour tout voisinage $V$de $x_0$
$f_{E-\{x_0 \}}(V)=f_{E-\{x_0 \}}((V-\{x_0 \} )\cup \{x_0 \})= f_{E-\{x_0 \}}(V-\{x_0 \}) \cup f_{E-\{x_0 \}}(\{x_0\})$
$= f(V-\{x_0 \}) \cup \varnothing = f(V-\{x_0 \})$
de là l'équivalence découle naturellement.
Donc cette petite mésaventure m'a un peu poussé à explorer le thème et j'ai consigné tout ce que j'ai appris dans cet article, donc si je pouvais bénéficier de la correction de certains membres du Forum je serai très content et si quelqu'un apprenait quelque chose en le lisant je le serai encore plus !
donc voilà je pense que la partie qui traite d'analyse est plutôt "correcte" quand je commence à parler de topologie et de filtre je ne sais vraiment pas si j'ai pas fait une boulette car j'ai jamais étudié ces notions là en cours.
Merci d'avance !
Donc voici l'article :
La limite est une notion fondamentale en mathématiques, elle est à la base de l'analyse, et un concept moteur de la topologie,cependant dans le contexte de l'analyse sur $\R$ on trouvera deux définitions "différentes" selon les manuels et les pays :
la première : $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon$ (Limite épointée)
La deuxième : $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon$ (Limite pointée)
La différence est subtile ! mais bien présente !
Pour sentir la différence prenons deux exemples de fonctions :
la première : $f :x \mapsto \frac{sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$et $f(x)= 1$q si $x=0$ cette fonction est donc définie et continue sur $\mathbb{R} $
La deuxième : $g: x \mapsto \frac{sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$ $f(x)= 0$q si $x=0$. cette focntion est donc discontinue en 0
Analysons maintenant les limites en 0 de ces deux fonctions selon nos deux définitions
Pour la limite épointée on trouve :
$\lim_{x\mapsto 0}f(x)= 1$ (ce qui montre la continuité.)
$\lim_{x\mapsto 0}g(x)= 1$ (discontinue donc.)
et on constate que ces deux fonctions sont égales partout sauf en 0.
Pour la limite pointée on trouve :
$\lim_{x\mapsto 0}f(x)= 1$ (continuité toujours.)
Et on trouve que $g$ n'admet pas de limite en 0 !
+Et pourquoi cela ?
D'abord constatons que le seul "bon candidat" pour cette limite est 1, on montre aisément que pour une autre valeur la fonction en tends pas vers cette valeur.
Pour 1 : supposons que $\lim_{x\mapsto 0}g(x)= 1$
Posons : $\epsilon=0,5$ d'après la définition de la limite on a l'existence d'un $\delta$ de tel que : $\forall x \in I\cap D_f, |x|<\delta \Rightarrow |g(x)-l|< \epsilon$
on voit alors qu'en prenant $x=0$ (et on a le droit on travaille sur un intervalle I centré en 0)
on a : $|-1|=1<0,5$ ce qui est absurde évidemment
On voit donc déjà une différence entre les deux définitions elles ne sont donc pas équivalentes !
On peut d'ores et déjà se poser une question qui à vrai dire s'impose :
Quand est-ce que ces deux définitions diffèrent et quand est-ce qu'elle s'accordent ?
A - Si $f$ n'est pas définie en $x_0$ et si elle admet une limite (une des deux) alors ces deux limites sont égales en $x_0$
car dans ce cas là, le cas : $|x-x_0|=0$ est éliminé car $x_0 \notin D_f$
B -si $f$ est définie en $x_0$ et admet une limité (épointée) $l$ mais $l \neq f(x_0)$ alors f n'admet pas de limite (pointée)en $x_0$
même idée que l'exemple déjà cité.
C- si $f$ est définie en $x_0$ et admet une limite (épointée) $l$ avec $l=f(x_0 ) $alors les deux limites sont définies et coïncident
si $|x-x_0 |< \delta $ alors on a deux cas : si $x_0=x$ alors $|f(x_0)-l|=0<\epsilon$ et sinon on conclut avec la définition épointée.
D -les deux définitions sont équivalentes en $+\infty$ et en -$\infty$ (à vrai dire car elle n'a pas de valeurs en ces "points")
E -si la limité pointée existe alors elle est égale à la limite épointée.
car tout simplement ($0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |x-x_0|<\delta$)
F- si $f$ admet une limite pointée en $x_0$ et y est définie alors cette limite est $f(x_0)$
car si ce n'était pas le cas le cas $x=x_0$ pose encore une fois problème.
!Question !: Si on a $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ et $\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$, a-t-on : $\lim_{x \mapsto a}f (g(x))=c$ ?
On aimerait bien en tout cas ! c'est un énoncé assez élégant et harmonieux et qui (souvent) résout bien des problèmes.
Quand cela marche ? (Limite pointée) :
Tout le temps .
Preuve :
traduisons nos définitions :
A ) $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|< \epsilon$
$\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_g, |x-b|<\delta \Rightarrow |g(x)-c|< \epsilon$
C) $\lim_{x \mapsto a}g(f(x))=c$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
Supposons A et B, soit $\epsilon>0$
on a : $\exists \delta > 0, \forall x \in I\cap D_g, |x-b|<\delta \Rightarrow |g(x)-c|< \epsilon$
considérons un des ces "$\delta$"$>0$ on a encore :
$\exists \alpha > 0, \forall x \in I\cap D_f, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|< \delta$
soit maintenant $x \in D_f$
on a : $|x-a|<\alpha \Rightarrow |f(x)-b|< \delta$
et comme $f(x) \in D_g$ (par l'existence même de la fonction $g\circ f$)
on a donc $|f(x)-b|<\delta \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
par transitivité on trouve :
$|x-a|<\alpha \Rightarrow |g(f(x))-c|< \epsilon$
c.q.f.d.
Quand cela marche ? (limite épointée.) :
1) $g$ n'est pas définie en b : oui
le cas $f(x)=b$ qui pose problème dans la démonstration du cas de la limite épointée est évacué.
2) $g$ est continue en b : oui
si jamais $f(x)=b$ alors $g(f(x))=c$ alors $|g(f(x))-c|<\epsilon$ quelque soit cet "$\epsilon$"
3) $g$ est discontinue en b : non
contre exemple tout simple : $f: x \mapsto b$, $g: x\mapsto c $si $x \neq b$ et $g(b)=c+1$
on a : $\lim_{x \mapsto a}f(x)=b$ et $\lim_{x \mapsto b}g(x)=c$ (dans le cas pointé cette limite n'existerait pas.) et pourtant ! $\lim_{x\mapsto a}g(f(x))=c+1$
La différence intuitive entre les deux définitions est en réalité toute simple, si on considère la définition épointée on estime alors que le concept de limite est purement local et qu'il dépend exclusivement des voisinages. c'est à dire que deux fonctions qui ont le même comportement au voisinage de $x_0$ (j'entends par là autour de $x_0$ donc rigoureusement un ensemble du type I\{ $x_0$} avec I un intervalle)doivent avoir la même limite même si elle n'ont pas la même valeur en ce point (ce qui est traduit par 0<... dans la définition)
donc par symétrie la définition pointée considère que malgré un comportement au voisinage rigoureusement identique si les images diffèrent alors les limites diffère ou plutôt son existence. (car si elles existent elle ont toujours la même valeur.)
donc en réalité pour la limite pointée il s'agit plus de donner une valeur à la fonction là ou elle n'est pas définie de manière à la rendre continue.
Bon profitons de cet éclairage conceptuel pour généraliser un peu !
jusqu’à présent nous avons parlé de limites dans le contexte strict de $\mathbb{R}$
Mais qu'en est-t-il d'autre "types" d’espaces et de limites ?
Vous l'aurez deviné ou non, parler de limite c'est parler de topologie !
comment s'exprime cette différence de définitions en topologie alors ?
Soit $E$ et $F$ deux espaces topologiques $f : E \mapsto F$ et $x_0 \in E$ et $l \in F$
Donnons les définitions :
$\lim_{x\mapsto x_0 }f(x)=l$ a pour définition : (bien que topologiquement cette écriture est un peu fautive car rien ne nous dit que cette limite est unique.)
Limite pointée : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f(V') \subset V$
Limite épointée : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset V$
$v(a)$ étant l'ensemble des voisinages de a (c'est d'ailleurs un filtre nous le verrons plus tard.)
Remarquons que la différence entre les deux définitions n'est pas dans "le concept même de limite" mais plutôt dans la fonction étudiée, dans le cas épointée on travaille sur $E-\{x_0\}$ plutôt que sur $E$ entier. et cela a du sens. car $f$ et $f_{|E-\{x_0\}}$ sont égales presque partout sauf en $x_0$ et donc d'après "le point de vue" local de la limite elles devraient avoir la même limite.
on peut même affirmer alors que toutes les fonctions qui ont la même restriction i.e. égales partout sauf peut-être en $x_0$ ont la même limite.
D'ailleurs, remarque : la notion de limite peut se voir aussi comme :"manière de donner une valeur cohérente à une fonction en un point où elle n'est pas définie" alors justement la limite épointée considère la fonction "comme si elle n'était pas définie en $x_0$"
Et on a toujours le fait que si la limite pointée existe alors la limite épointée existe et elles sont égales pour la simple raison que : $f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset f(V') $
Remarquons que pour la limite épointée nous avons une autre caractérisation :
$\forall V \in v(l), f^{-1}(V) \cup \{x_0 \} \in v(x_0 )$ , l'équivalence entre les deux définitions n'est pas difficile à démontrer.
Bon passons à quelque chose de plus intéressant les filtres !
Définissons d'abord ce qu'est un filtre engendré par une partie`$P$ de parties d'un ensemble $E$ noté $|P|$
D'abord $P$ doit vérifier :
*$P$ non vide
*$P$ ne contient pas l'ensemble vide.
*L'intersection de deux ensembles de $P$ contient un membre de $P$
tout simplement : $|P|= \{X \in P(E) | \exists A \in P, A \subset X \} $ ($P$ est alors une base du filtre $|P|$).
On a aussi : Un filtre $F_1$ est plus fin qu'un filtre $F_2$ équivaut à : $F_2 \subset F_1$.
Forts de ces définitions Nous avons maintenant la caractérisation en termes de filtres pour la limite (Pointée d'abord ):
Rappelons nous que v(a) ou a est un élément d'n espace topologique est un filtre .
*$|f(v(x_0)) |$ plus fin que $v(l)$
La démonstration est évidente il suffit de réécrire tout cela avec les définitions.
Pour le cas épointée c'est plus délicat :
supposons d'abord que $x_0$ n'est pas un point isolé car sinon la limite épointée n'a aucun sens vu que $\{x_0 \}$ est lui même un voisinage
*$|f(v^{*}(x_0))|$ plus fin que $f(v(l))$
où $v^{*}(x_0)$ est l'ensemble des voisinages de $x_0$ privé justement de l’élément $x_0$
i.e. l'ensemble des $V-\{x_0 \}$ où $V \in v(l)$
Rappelons nous que la définition de la limite épointée est : $\forall V \in v(l), \exists V'\in v(x_0 ), f_{|E-\{x_0\}}(V') \subset V$
Remarquons ensuite que notre définition à base de filtres peut se réécrire :
$v(l) \subset \{X \in P(E) | \exists V \in v^{*}(x_0 ),f(V) \subset X \}$
c'est à dire $\forall V \in v(l), \exists V' \in v^{*}(x_0 ),f(V') \subset V$
montrons maintenant que :$ f_{E-\{x_0 \}}(V)=f(V-\{x_0 \})$ pour tout voisinage $V$de $x_0$
$f_{E-\{x_0 \}}(V)=f_{E-\{x_0 \}}((V-\{x_0 \} )\cup \{x_0 \})= f_{E-\{x_0 \}}(V-\{x_0 \}) \cup f_{E-\{x_0 \}}(\{x_0\})$
$= f(V-\{x_0 \}) \cup \varnothing = f(V-\{x_0 \})$
de là l'équivalence découle naturellement.
Réponses
-
Salut,
Je n'ai pas lu pour le moment ton article mais ça fait plusieurs fois que je vois cette différence entre limite pointée et épointée, et je voudrais juste dire que ce n'est vraiment pas quelque chose d'important. Quand on prend la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$, c'est qu'on veut donner une valeur à $f(a)$ telle que $f$ soit continue en $a$. Si $f(a)$ est déjà définie, ça n'a pas beaucoup de sens (à moins de premièrement oublier que $f(a)$ est définie). -
Attention pour le filtre engendré, il te manque quelque chose. Écrit comme ça, qui te dit que ce machin est stable par intersection finie ?
-
@Maxtimax Merci ! voilà c'est corrigé $P$ doit vérifier deux trois bricoles et j'ai ajouté pour la limite épointée que $x_0$ ne doit pas être un point isolé car sinon ça n'a aucun sens.
@CPL Bah je pense d'abord qu'il faudrait connaitre la distinction entre les deux et savoir qu'elles ne sont pas équivalentes. car pas tout le monde le sait, c'est quand même grave de mettre dans des manuels des absurdités pareilles. donc je trouve qu'il est quand même important d'aborder le sujet.
SInon j'admets qu'en France il n'y a pas vraiment de débat, mais si vous alliez en Russie au Maroc ou en Chine et que vous leur affirmez que la fonction $g$ (en haut de l'article) n'admets pas de limite en $0$ vous choquerez des pays ! x)
Du coup c'est aussi ça la différence entre les deux :
Limite épointée : de quelle valeur $f(x)$ s'approche quand x s'approche de $x_0$
limite pointée : donner une valeur à $f$ en un point ou elle n'est pas définie pour qu'elle y soit continue. -
J'ai un peu lu ce que tu as écrit, en fait tu as dit ce que je disais.
-
Attention, c'est "contient un membre de $P$", pas "est inclus"
-
Il es toujours utile de proposer ce document de Perrin : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf
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Si tu te poses ce type de question au lycée, c'est déjà bon signe :-) D'autant que la définition de limite à la $(\epsilon, \delta)$ n'est pas au programme de lycée en France (et je ne sais pas si elle l'est où tu habites). Alors celle dans un espace topologique l'est encore moins (L3 je pense, potentiellement abordé avant)
On peut prendre aussi un cas assez simple pour voir une différence notable.
Avec une fonction $f$ définie de $\R$ dans $\R$ non continue telle que :
$$ \forall x \in \R^{*}, f(x) = 0 \text{ et } f(0) = 1 $$
La limite épointée existe (en 0) et vaut $0$ tandis que la limite non épointée n'existe pas.
En revanche, si ton point n'est pas dans le domaine de définition de $f$, alors les limites sont similaires.Mais qu'en est-t-il d'autre "types" d’espaces et de limites ?
Vous l'aurez deviné ou non, parler de limite c'est parler de topologie !
Vu que tu es au lycée, et si tu veux y aller plus "progressivement" que parler d'espace topologique, où il peut s'ypasser des choses assez contre intruitive. Notamment qu'il n'y a pas forcement unicité de la limite.
Bref, tu peux regarder ce qu'il se passe dans un espace vectoriel normé. Ce qui va t'amener à comprendre ce qu'est un espace vectoriel et une norme. Cela est une bonne généralisation de la limite des fonctions de $\R$ dans $\R$ qui est souvent suffisant jusqu'à un certain niveau.
Il y a cet article qui avait été mis en lien récemment dans un sujet sur ceci : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf
edit : grillé pour le lien -
Ottman : oui il y a une différence entre les deux définitions mais ce n'est pas un problème. D'ailleurs les mathématiques sont pleines de concepts qui ont plusieurs "définitions" incompatibles. La compacité par exemple. Pour les mathématiciens français un compact est un espace qui a la propriété de Lebesgue et en plus est séparé. Pour les mathématiciens anglais/americains un espace compact est un espace qui a la propriété de Lebesgue. Les deux définitions ne sont pas compatibles mais est-ce un problème ? Non. Il suffit de savoir quelle définition on utilise. C'est pareille pour la définition sur les limites. Aucune des deux définitions n'est plus correcte de l'autre. Aucune des deux définitions n'est plus intuitive que l'autre. Il s'agit d'un choix "conventionnel". Les topologues préfèrent la définition qui tient compte du point x0. Pour les cours introductifs d'analyse on préfère la notion de limite de Dedekind parce qu'elle est plus "intuitive" si on se restreint a étudier le comportement d'une fonction sur un intervalle ce qui est généralement le cas à ce niveau.
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La fonction définie sur [0,1] qui vaut y=x pour x appartenant à [0,1[ et 2 en x=1 a-t-elle une limite en x=1 ?
Pour la définition de Dedekind si. Cette limite existe et vaut 1
Pour la définition de Bourbaki non. Cette limite n'existe pas. -
@Dom : merci pour le lien !
@Milie oui j'avais justement signalé dans l'article que la notation " $Lim$ " est fautive en topologie car rien ne nous garantie son unicité, il faudrait que notre point $x_0$ ne soit pas isolé et que l'espace d'arrivée soit séparé. Cependant je pense que pour les E.v.n ce n'est pas tellement choquant pour quelqu’un qui est habitué à la notion de limite sur $\R$ car on est toujours dans un espace métrique. Donc tu as raison si on saute vers un espace non métrisable il y'a pas mal de bricoles contre-intuitives.
@SERGE_S : Oui, d'ailleurs les définition sont plutôt homogènes dans le monde à part en France mais je pense que cela est dû au fait que bon nombre de ces notions sont justement nées en France (Groupe Bourbaki).
Mais sinon outre ces différences historiques , je pense que pour la limite il y'a quand même une "point de vue" derrière.
la définition de Dedekind traite je pense plus de la notion de "proximité" alors que la définition de Bourbaki à plus trait à prolonger "continuement " nos fonctions (et d'ailleurs ça n'a de sens que quand la fonction n'est justement pas défini dans le point étudié.)
Après je pense comme vous l'indiquez pour le mathématicien chevronné passer de l'un à l'autre ne pose pas trop de soucis. Mais pour des élèves confrontés aux deux définitions c'est assez "troublant" au départ. -
Même la définition de Bourbaki appliqué aux espaces métriques ne capture pas la vraie différence entre la notion de limite et celle de continuité.
Pour parler de continuité d'une application f : A->B il faut que A et B soient des espaces topologiques. Pour parler de limite
d'une application f : A->B en un point x de A il faut seulement que B soit un espace topologique, on a pas besoin de doter A d'une structure topologique. Cette différence se note en utilisant la notion de filtre (qui est une notion purement ensembliste).
Il faut aussi faire attention au faite que parler DE limite (unicité de la limite) a un sens uniquement dans un espace de Hausdorff. Des qu'on sort de ce cadre l'unicité n'est plus garantie. Dans les espaces métriques (donc aussi les EVN) la propriété de Hausdorff est conséquence des propriétés des distances. Dans un espace topologique général il faut ajouter l'axiome de Hausdorff si on veut des propriétés pas pathologiques sur les limites. -
Pour parler de limite d'une application f : A->B en un point x de A il faut seulement que B soit un espace topologique,
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@ GaBuZoMeu :
Le pédantisme ne fait pas partie de mon vocabuilaire. Oui il faut parler de limite de f suivant le filtre/ou base de filtre.
Même si je n'ai pas utilisé ce vocabulaire cela aurait du être clair non ? Passons.
Pour la deuxième question no, une structure topologique n'est pas une structure purement ensembliste. La preuve : prends une intersection arbitraire de sous-ensembles d'un ensemble X. Est-ce qu'on obtient un nouvel sous-ensemble de X ? Oui. Et pourtant si tous les sous-ensembles de la famille sont des fermés, l'intersection n'est pas nécessairement un ensemble fermé.
Un filtre n'est rien d'autre qu'une famille non vide de sous-ensembles de X qui satisfont deux condition ensemblistes. Il y a rien de topologique. -
Serge_S: J'imagine que tu es au courant qu'une intersection de fermés est fermée ? Je vais te donner le bénéfice du doute et supposer que tu voulais dire "ouverts". Mais dans ce cas-là en quoi la définition de filtre n'a-t-elle pas le même "défaut d'ensemblisité" en remarquant qu'une intersection quelconque d'éléments d'un filtre n'est pas nécessairement dans ce filtre ?
Le grand apport de ZF(C) est précisément qu'on peut traiter toute notion comme une notion ensembliste. -
Moi je vais ergoter surSerge a écrit:Dans un espace topologique général il faut ajouter l'axiome de Hausdorff si on veut des propriétés pas pathologiques sur les limites.
Il suffit d'ajouter l'axiome de Hausdorff. -
Mais "il faut" n'était pas faux.
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Euh, est-il vrai que, pour un espace topologique quelconque,
$\mbox{toute suite qui est convergente a une limite unique} \Rightarrow \mbox{l'espace est séparé}$ ?
Si oui, c'est bien "il faut".
En tout cas, ce qui est clair, c'est l'implication dans l'autre sens. -
Bonjour Serge,Serge a écrit:Pour parler de limite d'une application f : A->B en un point x de A il faut seulement que B soit un espace topologique, on a pas besoin de doter A d'une structure topologique. Cette différence se note en utilisant la notion de filtre
Je ne comprends pas où tu veux en venir avec cette affirmation. Pourquoi pas dire que $B$ non plus n'a pas besoin d'être doté d'une topologie si on veut aller par là, même si ça se voit moins dans les études. Dans l'autre sens, c'est juste qu'on a compactifié sans le dire vraiment $\N$ en lui ajoutant $\infty$, et dire qu'on fait de la topologie.Serge a écrit:Dans un espace topologique général il faut ajouter l'axiome de Hausdorff si on veut des propriétés pas pathologiques sur les limites.
Je trouve le mot "pathologique" quelque peu excessif dans les propos de mathématiciens en général. La non unicité une pathologie, bof bof.Serge a écrit:ne capture pas la vraie différence entre la notion de limite et celle de continuité
Je ne comprends pas. Ce sont des notions différentes, un point c'est tout, que veux-tu dire par "vraie différence"? Je ne pose pas la question de manière taquine, je te demande si tu penses qu'on a tort d'exprimer que $f$ est continue en $a$ signifie que $f(x)$ tend vers $f(a)$ quand $x$ tend vers $a$? Qu'il y aurait autre chose de plus à voir à part ça? (Autre que la controverse épointée/pas épointée)
Bonne journée
talal -
@George Abitbol
Oui, c'est équivalent (en prenant les suites généralisées), et on peut raisonner par équivalences. Dire que $X$ est Hausdorff, c'est dire que la première diagonale $\{(x,x)|x\in X\} \subseteq X^2$ est fermée. Et dire que cette diagonale est fermée, c'est dire que si on a une suite généralisée à valeur dedans, les limites restent à valeur dedans. Autrement dit, si on a deux suites à valeur dans $X$ égales, alors les limites restent égales : il y a unicité. -
@Champ-Pot-Lion : Certes. Je réfléchirai un peu plus avant d'ergoter, la prochaine fois.
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Il s'agit aussi de savoir si le bénéfice du doute peut être accordé.
Je ne parle pas du cas de ce fil, mais il est récurrent de voir des "il faut" surtout en langage courant à la place des "il suffit".
Ergotons quant il le faut ;-) -
Mais si tu voulais dire qu'un filtre n'est pas nécessairement lié à une topologie, alors oui, évidemment.
Je veux dire, soit $F$ un filtre sur un ensemble $E$. N'obtient-on pas une topologie sur $E\cup\{\infty\}$ en déclarant que les voisinages de $\infty$ sont les $X\cup \{\infty\}$ pour $X\in F$ et les voisinages de n'importe quel $x\in E$ toutes les parties de $E\cup\{\infty\}$ contenant $x$ ? -
Ah, dans ce sens, peut-être (une topologie "discrète sauf en l'infini" ?), mais je voulais plutôt dire "si l'on se fixe une topologie, puis un filtre, alors il n'y a aucune raison que le filtre ait quoi que ce soit à voir avec la topologie choisie au début". Je te l'accorde, c'était ambigu.
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