Bolzano Weierstrass

Tu as raison, dans $\mathbb{R}$ les notions de suite de Cauchy et de suites convergentes sont les mêmes. C'est pour ça que $\mathbb{R}$ est dit complet.
Mais comme le fait remarquer Nicolas, ce n'est pas le cas de tous les espaces métriques. En particulier $\mathbb{Q}$ n'est pas complet (il y a des tonnes de contrexemples, être complet n'est pas l'habitude, c'est plutôt l'exception).Là où ton raisonnement échoue en général c'est le passage où tu invoques le théorème de Bolzano Weierstrass, qui n'est que valable que parce que $\mathbb{R}$ est un espace propre, c'est-à-dire que toute boule fermée (de rayon fini) est compacte, c'est ce qui permet l'extraction d'une telle sous-suite.
Tu as donc démontré : Si $(X,d)$ est un espace métrique propre, alors il est complet. Tu as des réciproques partielles à ce théorème, mais pas de réciproque (exercice: trouver un espace métrique complet non propre)

J’ajoute que la construction de $\R$ à partir de $\Q$ utilise précisément les suites de Cauchy.
$\R$ est l’ensemble des classes d’équivalences des suites de Cauchy d’éléments de $\Q$, la relation d’équivalence est déterminée par le fait que la différence de deux suites équivalentes a une limite nulle.

Oui, je sais, mais qui voit encore celle des coupures ?

Il y en a aussi avec des ultrafiltres :-D

Là où on se mord un peu la queue, c'est que la démo habituelle de Bolzano-Weierstrass utilise le fait qu'une suite de Cauchy converge. :-D

Il vaut mieux démontrer "à la main" le critère de Cauchy, à mon avis.

@Champ-Pot-Lion: le problème est de démontrer que $\mathbb{R}$ est complet en utilisant BW, alors que BW se montre (selon Cyrano) en utilisant la complétude de $\mathbb{R}$.

Mais sa remarque me surprend car dans mon esprit j'avais démontré en cours BW avant la complétude de $\mathbb{R}$... Si on prend l'extraction classique en $\frac{1}{2^n}$, alors le lemme d'encadrement et les suites adjacentes ne permettent-elles pas de conclure ?
Sachant que le lemme d'encadrement se montre "sans rien", et les suites adjacentes se montrent avec la propriété de la borne supérieure (qui est équivalente à la complétude, mais qui est souvent prise comme définition).

Enfin en dernière analyse, l'ordre dans lequel on fait les choses dépend totalement de la définition de $\mathbb{R}$. Si on prend la construction de Cauchy, il est clair que la première étape est de montrer la complétude, d'en déduire la propriété de la borne supérieure; puis d'en déduire (à l'aide du lemme du soleil levant) BW; mais si on construit $\mathbb{R}$ à l'aide des coupes de Dedekind (ce qui est en un sens plus "naturel" car les suites de Cauchy reposent sur la notion de distance qui est relativement reliée aux réels; même si bien sûr on peut se passer de parler de réels) ou des ultrafiltres comme je l'ai mentionné avant, la première propriété qu'on démontre est celle de la borne supérieure, de laquelle on déduit BW (même schéma qu'avant: lemme du soleil levant et convergence des suites monotones bornées) et alors on peut en déduire la complétude.

Je ne pense pas que, sans regarder la définition utilisée pour $\mathbb{R}$, on puisse dire qui de BW ou de Cauchy est plus "fondamental" et devrait se montrer avant.

Champ-Pot-Lion : oui les espaces uniformes ça marche, je pense qu'on peut le faire de plein de manières; c'était une remarque en passant

Il n'y a aucune triche dans la construction de $\R$ par les suites de Cauchy, quand c'est fait correctement : https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_réels#Construction_via_les_suites_de_Cauchy

Sinon pour Bolzano-Weierstrass j'ai vu la même façon que Georges Abitbol.

Dans mon cours, j'utilisais la démonstration de B-W par dichotomie (avec au début du cours une présentation axiomatique de $\R$ avec l'axiome des segments emboîtés).