Convergence uniforme.

poli12 · November 2017

Bonjour. J'aimerais savoir si lorsqu'on a une suite de fonctions $(f_n)$ de classe $C^1$ sur le segment $I=[0,1]$ qui converge simplement vers la fonction nulle et que sa suite dérivée $f'$ converge vers une fonction $g$, est-ce que la convergence de la suite des dérivées est uniforme ??? Si oui bien vouloir m'aider à le montrer s'il vous plaît. La norme ici est $||f||=\sup_{t\in I}{|f(t)|}$.

Tryss · November 2017

Considère une suite de fonctions $(f_n)$ tel que $f_n = 0$ sur $[0,\frac{1}{n}]\cup [\frac{2}{n}, 1]$, et tel que $f(\frac{3}{2n}) = 1$.

Alors $f_n$ converge simplement vers 0, $f'_n$ converge simplement vers 0, mais clairement pas uniformément ( le sup de la dérivée va même tendre vers +oo)

mojojojo · November 2017

Tu peux regarder une suite de fonction du type $f_n(0)=0$ et $f'_n(x)= 0 $ si $x\geq 2/n$, $f'_n(x)=\alpha_n x$ si $0\leq x \leq 1/n$ et $f'_n(x)=2\alpha_n/n-\alpha_n x$ si $1/n<x<2/n$ (fais un dessin).

Plus précisément tu peux prendre $\alpha_n=n$, ça devrait répondre à ta question.

poli12 · November 2017

Je m'excuse mais parler de convergence avec cette norme c'est parler de convergence uniforme sur I.

Convergence uniforme.

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 33