Boules dans un evn et dans un espace métrique
Bonsoir
Je travaillais quelques exercices de topologie et voilà que je rencontre une question un peu particulière. L'énoncé de l'exercice :
Soit (E,N) un espace vectoriel normé.
1) Montrer que pour tout a de E et pour tout r>0, l'adhérence de la boule ouverte de centre a et de rayon r est la boule fermée de centre a et de rayon r.
2) Montrer que l'intérieur de la boule fermée de centre a et de rayon r est la boule ouverte de centre a et de rayon r.
3) Les résultats précédents sont-ils vrais pour un espace métrique (E,d) quelconque ?
J'ai comme indication pour la troisième question de considérer l'espace des endomorphismes de Rn et la distance d(f,g)=rg(f-g). J'ai vérifié que c'est une distance. Et j'ai essayé de considérer la boule ouverte de centre l'endomorphisme nul et de rayon 1, et bizarrement c'est le singleton endomorphisme nul qui est un fermé. Pourtant, quelque soit l'espace métrique les boules ouvertes sont toujours ouvertes non ?
Merci d'avance pour votre aide.
Je travaillais quelques exercices de topologie et voilà que je rencontre une question un peu particulière. L'énoncé de l'exercice :
Soit (E,N) un espace vectoriel normé.
1) Montrer que pour tout a de E et pour tout r>0, l'adhérence de la boule ouverte de centre a et de rayon r est la boule fermée de centre a et de rayon r.
2) Montrer que l'intérieur de la boule fermée de centre a et de rayon r est la boule ouverte de centre a et de rayon r.
3) Les résultats précédents sont-ils vrais pour un espace métrique (E,d) quelconque ?
J'ai comme indication pour la troisième question de considérer l'espace des endomorphismes de Rn et la distance d(f,g)=rg(f-g). J'ai vérifié que c'est une distance. Et j'ai essayé de considérer la boule ouverte de centre l'endomorphisme nul et de rayon 1, et bizarrement c'est le singleton endomorphisme nul qui est un fermé. Pourtant, quelque soit l'espace métrique les boules ouvertes sont toujours ouvertes non ?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Le fait que ce soit un fermé n'interdit pas que ce soit un ouvert.
Cordialement.
Je vous remercie pour votre réponse.
Juste pour achever la rédaction de la question précédente. On a pour la distance donnée : B(0,1)={0} dont l'adhérence est toujours {0} ( puisque c'est un fermé ), et Bf(0,1)={f/rg(f)=1}U{0} .On voit bien qu'on a qu'une seule inclusion.
Et sinon pour l'intérieur de cette boule fermée c'est elle-même, puisque, si je prends un endomorphisme f de cette boule, alors la seule valeur d'un r>0 tq B(f,r) soit contenue dans Bf(0,1) est 1. Et on trouve donc B(f,r)={g/rg(f-g)<1}={f}.
J'espère que si j'ai commis des fautes vous pourrez me rectifier.
Merci d'avance
La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $1$ est égale à $\{a\}$ et la fermée de rayon 1 à l'espace tout entier qui ne vaut pas $\{a\}$ par choix de cardinal.
Voici un exemple:
Dans $\R^2$ on considère l'espace $E=(\{0\}\times ]-\infty,+\infty[) \cup ([-1,0] \times \{0\}) \cup \{(1,0)\}$ muni de la distance euclidienne. Trouver la boule ouverte de rayon 1 et centre $(0,0)$ ainsi que son adhérence et la boule fermée de rayon 1 et de centre $(0,0)$ ainsi que son intérieur.
Les plus rigolos sont les espaces ultramétriques, dans lesquels tout point d'une boule est un centre de cette boule.
Toutes ces vilaines choses ne se produisent heureusement pas dans les espaces vectoriels normés. C'est sans doute pourquoi le Législateur, dans Sa Grande Sagesse, a supprimé depuis longtemps les espaces métriques du programme des prépas. Et encore plus Sage, il a supprimé récemment les espaces de dimension infinie, où les bornés fermés ne sont pas forcés d'être compacts.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Je vous remercie pour vos réponses, elles ont été trop instructives.
Peut-être qu'en enlevant les espaces métriques on a simplifié le programme mais je trouve que c'est bien dommage. Pour ma part, je lis ce cours (même si c'est un cours sans détails ni démonstration) et j'apprécie bien, et je sens un vide quand je travaille les espaces vectoriels normés. Je sais pas comment l'exprimer mais je pense qu'on nous a enlevé un puissant outil en mathématiques ( et même on nous a prive d'une certaine beauté ).
Je vous remercie tous pour vos réponses .
Il fauut savoir aussi (exercice) que pour tout espace métrique $(X,d)$, il existe un espace vectoriel normé (un Banach en fait) $(E,\|\cdot \|)$ et une application $f:X\to E$ telle que pour tous $a,b\in X$, $\|f(a)-f(b)\|=d(a,b)$ (dit succintement, tout espace métrique est isométrique à une partie d'un certain evn).
« Réponses trop instructives » ? Trop, vraiment ?
Comme l'a souligné Chaurien, tu peux jeter un oeil aux espace ultramétriques.
http://www.ams.org/journals/proc/1964-015-03/S0002-9939-1964-0162222-5/S0002-9939-1964-0162222-5.pdf
Pour la petite histoire, il a été cité dans la RMS 3, 1989-90, lorsque les espaces métriques ont été supprimés. « En théorie » comme dit pour rire l'auteur de la note, cette suppression des espaces métriques n'était donc pas restrictive. Elle l'était en pratique.
Se restreindre alors au cadre des espaces vectoriels normés était déjà regrettable, mais les récentes coupes sont lamentables et je rejoins les critiques de Foys et celles de Millie.
Il aurait été toutefois surprenant que l'incroyable dégradation de l'enseignement avant le prétendu « baccalauréat » n'eût pas de conséquences pour les années suivantes, même pour la frange d'élèves les plus doués et travailleurs. La question est globale, et dirai-je politique.
Bonne fin de dimanchade nonobstant.
Fr. Ch.