Ouvert de $\R^n$ homéomorphe à $\R^n$
dans Topologie
Salut,
est ce qu'un ouvert de $\R^n$ est homéomorphe à $\R^n$.
merci d'avance.
est ce qu'un ouvert de $\R^n$ est homéomorphe à $\R^n$.
merci d'avance.
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Réponses
$\mathbb R^n$ est convexe connexe. Un ouvert, généralement pas ....
Par exemple, un ouvert comme $\{(x,y)\in\R^2\;;\ x^2+y^2<1\ \text{et}\ (x<0\ \text{ou}\ y<0)\}$ (trois quarts de disque ouvert) n'est pas convexe mais il est homéomorphe à $\R^2$ (il est étoilé par rapport à $(-1/2,-1/2)$). Mais tu voulais peut-être dire « connexe ».
Un contre-exemple en dimension $2$ : l'anneau ouvert $\{(x,y)\in\R^2;\ 1<x^2+y^2<2\}$ n'est pas homéomorphe à $\R^2$. Les deux sont connexes mais l'un est simplement connexe quand l'autre ne l'est pas.
Soit $M$ un espace topologique tel que :
1) $\forall a \in M$, il existe un ouvert de $M$ contenant $a$ qui est homéomorphe à un ouvert $V$ de $\R^n$.
2) $\forall a \in M$, il existe un ouvert de $M$ contenant $a$ qui est homéomorphe à $\R^n$.
pour démontrer que ces deux conditions sont équivalentes je ne trouvais pas un moyen.
Merci à tous.
Ensuite, entre 1) et 2), il y a une implication littéralement triviale et l'autre est quasiment triviale. Laquelle est laquelle ? Pourquoi la quasiment triviale l'est-elle ?
Donc pour info tu peux même montrer que toutes les boules ouvertes de $\mathbb{R}^{n}$ est $C^{\infty}$ difféomorphes à $\mathbb{R}^{n}$.