Passer des limites de suites à la topologie.

Bonsoir,

Je me suis posé il y'a quelques temps un problème : Sur un ensemble $E$ si on peut associer à certaines suites à éléments dans $E$ un élément de $E$ qu'on va appeler limite de cette suite. est-ce qu'on peut construire à partir de ça une topologie où les limites de suites sur $E$ selon cette topologie vont coïncider avec nos valeurs (a priori arbitraires)


alors évidemment ces valeurs "limites" ne doivent pas être totalement arbitraires et doivent suivre certaines "règles" , Alors ,j'ai pensé à la chose suivante : étant donné une application $f$ de $P(E)$ dans $P(E)$ $f: X \mapsto \overline{X}$ avec $X \in P(E)$

Si $f$ vérifie les propriétés suivantes :$A \subset \overline{A}$ , $\overline{\overline{A}}= \overline{A}$, $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B}$ , $\overline{\varnothing}=\varnothing$ (c'est les axiomes de Kuratowski si je ne me trompe pas.)

Alors en considérant les fermés les parties $A$ de$ E$ tel que $\overline{A}=A$ on obtient une topologie.

Alors on va prendre $f$ tout simplement : $f(A)= \{l \in E| \exists (u_n ) \in A^{\mathbb{N}},\lim(u_n )=l\}$ avec $\lim (u_n )$ la valeur "arbitraire" prise pour la suite $(u_n )$
Donc j'ai deux problèmes : est-ce que les limites de suites selon cette topologie correspondent vraiment à nos valeurs de départ ?
et comment traduire ces hypothèse en termes de "suites"

Pour la première il suffit d'imposer que la limite d'une suite constante est justement cette valeur constante, et puis pour la dernière on a évidemment $f(\varnothing ) = \varnothing$ pour la deuxième et troisième hypothèses je ne sais pas comment traduire.

*j'ai pensé que si c'est vrai ce que je "suppose" ça peut résoudre bien des problème, donner une définition de la limite d'une suite de fonction est beaucoup plus facile que de donner directement une topologie sur l'espace des fonctions.*