Ensemble des valeurs d'adhérence

Je ne voudrais pas dire de bêtises, mais si la suite a ses valeurs dans un fermé, alors ses valeurs d'adhérence sont dans ce fermé. Et s'il n'est pas convexe, par exemple un cercle, je pense que l'ensemble de ces valeurs ne le sera pas non plus.

Ou bien par exemple la suite $u_n=e^{i \sqrt n }$, si je ne me trompe.

Bonjour,

chaurien a écrit:

Plus généralement dans un espace métrique c'est un connexe. Pas facile. Gourdon, p. 45.

Je confirme, vraiment pas facile :-D (Comment Gourdon peut-il être passé à côté de la médaille Field après ça? )

Bonne soirée,
Talal

Il est possible de construire une suite $(x_n)_{n\in \N}$dans $\R^2$ telle que $\|x_{n+1}-x_n\|$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini et dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est égal à une réunion des deux demi-droites disjointes $[0,+\infty[\times \{0\}$ $[0,+\infty[\times \{1\}$: soit $N$ un entier; on part de $0$ et on fait des sauts de longueur $2^{-2N}$ en ligne droite pour aller successivement:
de $(0,0)$ à $(0,2N)$
puis de $(0,2N)$ à $(1,2N)$
puis de $(1,2N)$ à $(1,0)$.
En suite on fait demi-tour: on fait des sauts de longueur $2^{-(2N+1)}$ (édité)pour aller successivement:
de $(1,0)$ à $(1,2N+1)$
puis de $(1,2N+1)$ à $(0,2N+1)$
puis de $(0,2N+1)$ à $(0,0)$.

Et ainsi de suite...

Avec un peu d'imagination (l'idée n'est pas tellement différente) on peut aussi construire un exemple dans $\R^2$ où l'ensemble des valeurs d'adhérence possède exactement deux éléments.



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En revanche si une suite $(y_n)_{n\in \N}$ d'un espace métrique compact $(K,d)$ est telle que $d(y_{n+1},y_n)\underset{n\to +\infty} {\longrightarrow} 0$ alors l'ensemble $A$ de ses valeurs d'adhérence est connexe.
En effet si $A$ n'est pas connexe il est la réunion de deux parties non vides disjointes $B,C$ fermées pour la topologie induite sur $A$, qui sont également des parties fermées de $K$. Donc $B$ et $C$ sont compacts. La fonction $(x,y)\in B\times C \mapsto d(x,y)$ admet donc (compacité de $B\times C$) un minimum $m>0$ non nul et si pour tout $X\subseteq K$ on note $V(X)=\bigcup_{a\in X} B\left( a,\frac{m}{3}\right)$, on voit que $V(B)$ et $V(C)$ sont des ouverts disjoints de $K$ à distance au moins $\frac{m}{3}$ (*) l'un de l'autre. $K\backslash \left[ V(B) \cup V(C)\right]$ est fermé dans $K$ donc compact et contient par construction -cf (*)- une infinité de points de la suite donc une valeur d'adhérence: contradiction.

Même dans un evn, "bornée" ne suffit pas (sauf en dimension finie bien sûr mais c'est parce qu'on récupère la compacité).

Considérer un Hilbert de dimension dénombrable avec une base $(e_n)_{n\in \N}$ et tracer un demi cercle de rayon $1/2$: $C_n$dans $vect (e_0,e_n)$, reliant $0$ à $e_0$.
-On va de $0$ à $e_0$ dans $C_{2n}$ en faisant des pas de taille $2^{-2n}$
-On va de $e_0$ à $0$ dans $C_{2n+1}$ en faisant des pas de taille $2^{-(2n+1)}$.

On obtient une suite bornée dont les seules valeurs d'adhérence sont $e_0$ et $0$ et dont la distance entre les termes successifs tend vers $0$.

Bref la compacité est indispensable.

Oui Shah d'Ock c'est encore une coquille de ma part :)o