famille décroissante de compacts

Merci à vous deux pour le signalement de cette coquille corrigée en rose (je voulais dire d'intersection un singleton

Pour donner le lien concret avec ce que je cherche et evnetuellement trouver la bonne généralisation au cas où l question soit de réponse non : et en se plaçant dans la topologie precise dont j'ai parlé en bas du premier post, c'est à dire où $X$ est l'ensemble des parties de $\mathbb N$ quotienté par l'égalité presque partout (on notera $0$ l'ensemble des partie finie de $\mathbb N$, c'est à dire la classe du vide)


Supposons qu'on ait $F=\left\{F_i,i<p\right\}\subset \mathcal P(X)$, on note $F(k)=\left\{F_i,i<k\leq p\right\}$ et $i_k:=minorants(F(k))$ l'ensemble des éléments de $X$, qui sont presque inclus dans tous les $F_i$, $i<k$. On suppose que $i_k=\left\{0\right\}$ si et seulement si $k=p$.

Si la question du post est positive dans ce cas précis (la "topologie de l'ordre" est, je crois, celle dont les fermés sont engendrés par les minorants de singleton, et il me semble que ces derniers sont (ici) compacts, et que l'intersection de deux d'entre eux bien choisis fournit un voisinage de tout élément de $X$, qui est alors localement compact) , on a alors une suite décroissante de compacts $(c_i)_{i<p}$ d'intérieur non vide et d'intersection $\left\{0\right\}$. et on en conclut rapidement qu'on peut prendre $c_i=minorants(\left\{A_i\right\})$ et que dès lors $A=\left\{A_i,i<p\right\}$ est totalement ordonnée, de borne inf $0$. Et ça démontre le résultat dont on a parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535920,1535920#msg-1535920