famille décroissante de compacts
Bonjour,
Soit $X$ un espace topologique (séparé et) localement compact.
Soit $I$ un ensemble bien ordonné, et $(F_i)_{i\in I}$ une famille décroissante de fermés d'intérieur non vide tel que $\bigcap_I F_i$ est un singleton.
Existe-t-il $(C_i)_{i\in I}$ famille décroissante de compact d'intérieur non vide tel que $\bigcap_I C_i$ est un singleton.
La réponse sans la mention "intérieur non vide" m’intéresse aussi.
Je m’intéresse à ça dans le cas particulier où $X$ est l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ quotienté par l'égalité presque partout, et ordonné par "presque-inclusion", muni de la topologie de cet ordre. Je me dis que c'est peut-être un résultat connu, où qu'il est connu que ça n'est pas toujours le cas...
Merci
EDIT : remplacement en rose, de "est vide" par "est un singleton", après remarque de Foys que je remercie!
Soit $X$ un espace topologique (séparé et) localement compact.
Soit $I$ un ensemble bien ordonné, et $(F_i)_{i\in I}$ une famille décroissante de fermés d'intérieur non vide tel que $\bigcap_I F_i$ est un singleton.
Existe-t-il $(C_i)_{i\in I}$ famille décroissante de compact d'intérieur non vide tel que $\bigcap_I C_i$ est un singleton.
La réponse sans la mention "intérieur non vide" m’intéresse aussi.
Je m’intéresse à ça dans le cas particulier où $X$ est l'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ quotienté par l'égalité presque partout, et ordonné par "presque-inclusion", muni de la topologie de cet ordre. Je me dis que c'est peut-être un résultat connu, où qu'il est connu que ça n'est pas toujours le cas...
Merci
EDIT : remplacement en rose, de "est vide" par "est un singleton", après remarque de Foys que je remercie!
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Réponses
[small](*) dans la terminologie française un compact est toujours séparé -même si en l'espèce l'espace ambiant ne l'est pas.[/small]
Mais je serais bien curieux de savoir si, avec un $I$ non minoré et une topologie exotique, cela marcherait.
Pour donner le lien concret avec ce que je cherche et evnetuellement trouver la bonne généralisation au cas où l question soit de réponse non : et en se plaçant dans la topologie precise dont j'ai parlé en bas du premier post, c'est à dire où $X$ est l'ensemble des parties de $\mathbb N$ quotienté par l'égalité presque partout (on notera $0$ l'ensemble des partie finie de $\mathbb N$, c'est à dire la classe du vide)
Supposons qu'on ait $F=\left\{F_i,i<p\right\}\subset \mathcal P(X)$, on note $F(k)=\left\{F_i,i<k\leq p\right\}$ et $i_k:=minorants(F(k))$ l'ensemble des éléments de $X$, qui sont presque inclus dans tous les $F_i$, $i<k$. On suppose que $i_k=\left\{0\right\}$ si et seulement si $k=p$.
Si la question du post est positive dans ce cas précis (la "topologie de l'ordre" est, je crois, celle dont les fermés sont engendrés par les minorants de singleton, et il me semble que ces derniers sont (ici) compacts, et que l'intersection de deux d'entre eux bien choisis fournit un voisinage de tout élément de $X$, qui est alors localement compact) , on a alors une suite décroissante de compacts $(c_i)_{i<p}$ d'intérieur non vide et d'intersection $\left\{0\right\}$. et on en conclut rapidement qu'on peut prendre $c_i=minorants(\left\{A_i\right\})$ et que dès lors $A=\left\{A_i,i<p\right\}$ est totalement ordonnée, de borne inf $0$. Et ça démontre le résultat dont on a parlé ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1535920,1535920#msg-1535920
(je préciserai en quoi plus tard)