compact et topologie de l'ordre

Bonjour

Si $X$ est ordonné par $\leq_X$,
la topologie de l'ordre est la moins fine telle que pour tout $a,\,b\in X$, $[a,b]:=\left\{x\in X\mid a\leq_X x\leq_X b\right\}$.

J'aurais tendance à conjecturer que les compacts sont les fermés bornés (1), et en tout cas que si $\inf(X)=:0$, on a : pour tout $b\in X$, $[0,b]$ est compact. (2)

Je n'arrive pas à trouver de contre-exemples à (1) , et je n'arrive pas non plus à démontrer (2)