Topologie limite inductive
dans Topologie
Bonjour, j'aimerais savoir si mon raisonnement sur cet exercice tient.
Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}$.
On note $D_{K}(\mathbb{R})$ l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}$ et à support dans $K$. Puis $D(\mathbb R)$ la réunion des $D_{K}(\mathbb R)$ $K$ compact de $\mathbb R$.
On définit la topologie de $D_{K}(\mathbb R)$ par la famille de semi-norme $p_{K,m}(f)=\sup\limits_{j\leq m}\,\sup\limits_{x\in K} |f^{(j)}(x)|$ .
On définit la topologie limite inductive stricte $\tau$ des espaces de Fréchet $D_{K_{n}}(\mathbb R)$ où $(K_{n})$ forme une suite croissante de compacts de $\mathbb R$ et on note $\tau_{n}$ leurs topologies.
Question
Montrer que $\tau$ ne dépend pas de la suite croissante de compacts $(K_{n})$.
Solution
Soient $(K_{n})$ et $(K'_{n})$ deux suites croissantes de compacts. Et notons $\tau$ et $\tau'$ leurs topologies l.i.s respectivement.
Montrons que $\tau=\tau'$.
Pour cela je pose $T:(D(\mathbb R),\tau)\longrightarrow (D(\mathbb R),\tau')$ tel que $T(f)=f$ est continue. Comme $T$ est linéaire il suffit de montrer que $T$ est continue sur chaque $D_{K_{n}}(\mathbb R)$.
Soit $n\in\mathbb{N}$ et $K$ un compact de $\mathbb R$.
Montrons que $p_{K,m}(f)\leq p_{K_{n},m}(f)$ pour $f\in D_{K_{n}}(\mathbb R)$.
Si $K\bigcap K_{n}=\emptyset$ on a le résultat.
Sinon posons $A=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\},\ $ $\ B=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\setminus(K\bigcap K_{n})\}\ $ et $\ C=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\bigcap K_{n} \}$. Alors $A=B\bigcup C$. D'où :
$\sup A\leq\sup C$ et on déduit le résultat.
Donc $t: (D_{K_{n}}(\mathbb R),\tau_{n}) \longrightarrow (D_{K_{n}^{'}}(\mathbb R),\tau_{n})$ tel que $t(f)=0$ si $ K_{n}^{'}\bigcap K_{n}=\emptyset$ et $t(f)=f$ sinon est continue.
Par définition de $\tau'$, $i_{n},$ l'injection canonique de $(D_{K'_{n}(\mathbb R)},\tau_{n})$ dans $(D(\mathbb R),\tau')$ est continue.
D'où $T_{D_{K_{n}(\mathbb R)}}=i_{n} \circ t$ est continue.
Donc $T$ est continue et $\tau'$ est inclus dans $\tau$.
En échangeant les rôles on a la réciproque.
Soit $K$ un compact de $\mathbb{R}$.
On note $D_{K}(\mathbb{R})$ l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}$ et à support dans $K$. Puis $D(\mathbb R)$ la réunion des $D_{K}(\mathbb R)$ $K$ compact de $\mathbb R$.
On définit la topologie de $D_{K}(\mathbb R)$ par la famille de semi-norme $p_{K,m}(f)=\sup\limits_{j\leq m}\,\sup\limits_{x\in K} |f^{(j)}(x)|$ .
On définit la topologie limite inductive stricte $\tau$ des espaces de Fréchet $D_{K_{n}}(\mathbb R)$ où $(K_{n})$ forme une suite croissante de compacts de $\mathbb R$ et on note $\tau_{n}$ leurs topologies.
Question
Montrer que $\tau$ ne dépend pas de la suite croissante de compacts $(K_{n})$.
Solution
Soient $(K_{n})$ et $(K'_{n})$ deux suites croissantes de compacts. Et notons $\tau$ et $\tau'$ leurs topologies l.i.s respectivement.
Montrons que $\tau=\tau'$.
Pour cela je pose $T:(D(\mathbb R),\tau)\longrightarrow (D(\mathbb R),\tau')$ tel que $T(f)=f$ est continue. Comme $T$ est linéaire il suffit de montrer que $T$ est continue sur chaque $D_{K_{n}}(\mathbb R)$.
Soit $n\in\mathbb{N}$ et $K$ un compact de $\mathbb R$.
Montrons que $p_{K,m}(f)\leq p_{K_{n},m}(f)$ pour $f\in D_{K_{n}}(\mathbb R)$.
Si $K\bigcap K_{n}=\emptyset$ on a le résultat.
Sinon posons $A=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\},\ $ $\ B=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\setminus(K\bigcap K_{n})\}\ $ et $\ C=\{|f^{(j)}(x)| \mid x\in K\bigcap K_{n} \}$. Alors $A=B\bigcup C$. D'où :
$\sup A\leq\sup C$ et on déduit le résultat.
Donc $t: (D_{K_{n}}(\mathbb R),\tau_{n}) \longrightarrow (D_{K_{n}^{'}}(\mathbb R),\tau_{n})$ tel que $t(f)=0$ si $ K_{n}^{'}\bigcap K_{n}=\emptyset$ et $t(f)=f$ sinon est continue.
Par définition de $\tau'$, $i_{n},$ l'injection canonique de $(D_{K'_{n}(\mathbb R)},\tau_{n})$ dans $(D(\mathbb R),\tau')$ est continue.
D'où $T_{D_{K_{n}(\mathbb R)}}=i_{n} \circ t$ est continue.
Donc $T$ est continue et $\tau'$ est inclus dans $\tau$.
En échangeant les rôles on a la réciproque.
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