points d'accumulation ensemble de rationnels

Je tente quelque chose :
Soit $x$ un réel.
On note $(e_n(x))_n$ la suite des approximations décimales de $x$ par excès à $10^{-n}$ et de même $(d_n(x))_n$, par défaut...
Ces suites approchent $x$ de manière rationnelle.
Si on note $B$ la réunion de toutes les images de ces suites lorsque $x$ parcourt $A$, n'obtient-on pas ce que l'on veut ?

Je n'en suis qu'au stade intuitif...
edit : @Poirot, c'est la question que je cherche à trancher et tu as devancé mon "edit" )

L'ensemble des points d'accumulation n'est-il pas toujours fermé ? En effet soit $x$ qui n'est pas d'accumulation; par définition il existe $V$ ouvert tel que $V\cap B \subset \{x\}$. Si on prend $y\in V$, alors $y$ n'est pas d'accumulation, et donc $V\subset X\setminus B'$, où $B'$ est l'ensemble des points d'accumulation de $B$

@Dom : si tu approches tout les points d'un ensemble, alors tu approches tout les points de la fermeture de cet ensemble.

Considère $A = ]0,1[$. Soit $B$ un ensemble qui a pour point d'accumulation $A$. Alors $\forall n \exists x_n \in B, |x_n-\frac{1}{n}| \leq \frac{1}{n}$.

Mais $x_n \to 0$ :

$|x_n - 0| \leq |x_n-\frac{1}{n}| + |\frac{1}{n} - 0 | \leq \frac{2}{n} \to 0$.

On peux généraliser la preuve à un élément quelconque de l'adhérence de $A$

@Tryss et Dom : c'est d'ailleurs exactement ce que je montre quand je dis que $B'$ est fermé ;-)

Dans un espace topologique $E$, l'ensemble des points d'accumulation d'un ensemble $A$ est appelé son ensemble dérivé, noté $A'$. Dans un espace métrique un ensemble dérivé est toujours fermé. C'est vrai aussi pour les espaces topologiques séparés $T_2$.
Mais la question c'est la réciproque. Il me semble avoir lu que dans $\mathbb R$ toute partie fermée est un ensemble dérivé, mais je n'ai plus la démonstration.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Soit $A$ un fermé de $\R$. Son complémentaire est une réunion disjointe d'intervalles ouverts $]a_i,b_i[$. Pour $i$, il existe une suite décroissante de rationnels $(c^{(i)}_n)_{n\in \N}$ et une suite croissante de rationnels $(d^{(i)}_n)_{n\in \N}$ telles que $a_i<c^{(i)}_n<d^{(i)}_n<b_i$, telles que $\lim_{n\to \infty}c^{(i)}_n=a_i$ et $\lim_{n\to\infty}d^{(i)}_n=b_i$.

Soit $C$ l'ensemble des $c^{(i)}_n$ et des $d^{(i)}_n$. Soit $D$ l'intersection de $\Q$ avec l'intérieur de $A$. Soit $B=C\cup D$. On a $B\subset \Q$.

Montrons que $A$ est l'ensemble $B'$ des points d'accumulation de $B$.

Soit $x\in B'$. Si $x\in D'$, alors $x\in A'$ puisque $D\subset A$, donc $x\in A$ puisque $A$ est fermé.
Si $x\in C'$, alors il est clair que $x$ n'appartient à aucun intervalle $]a_i,b_i[$, donc $x\in A$. On a ainsi prouvé que $B'\subset A$.


Soit $x\in A$. Si $x$ est à l'intérieur de $A$, il est un point d'accumulation de $D$, donc de $B$. Si $x$ appartient à la frontière de $A$, alors pour tout $\epsilon>0$ il existe $i$ et un élément $y \in ]a_i,b_i[$ tel que $|x-y|<\epsilon$. De plus, $x\notin ]a_i,b_i[$ donc si par exemple $x<a_i$, il existe $n$ tel que $x<a_i<c^{(i)}_n<y$ donc $0<|x-c^{(i)}_n|<\epsilon$. Ceci prouve que $x\in C'\subset B'$. On ainsi prouvé que $A\subset B'$.

@Chaurien : je crois que $T_1$ suffit. En effet si je reprends ma preuve,le seul point où j'ai utilisé la séparation était pour conclure de $V\cap B\subset \{x\}$ et $y\in V$ que $y$ n'était pas d'accumulation. Or si l'espace est $T_1$ et $y\in V$, alors ou bien $y=x$ auquel cas on n'a rien à dire, ou bien $y\neq x$, auquel cas $y$ est dans un ouvert $W$ tel que $x\notin W$, de sorte que $y\in V\cap W$, et $V\cap W\cap B \subset W\cap\{x\}= \emptyset$. Me trompè-je ?