Espace presque métrique
Bonsoir ,
Un espace ''presque métrique'' est un ensemble non vide muni d'une application :$d:X\times X\rightarrow R^+$ telle que pour tout $x,y,z$ : \begin{align*}
1)\ d(x,y)&=0\rightarrow x=y\\
2)\ d(x,y)&=d(y,x) \\
3)\ d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{align*} On définit aussi la boule ouverte par : $$
B(x,\varepsilon)=\{x\in X\mid |d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}
$$ J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes forment une base pour la topologie induite par $d$. Comment peut-on montrer ce résultat .Merci
Un espace ''presque métrique'' est un ensemble non vide muni d'une application :$d:X\times X\rightarrow R^+$ telle que pour tout $x,y,z$ : \begin{align*}
1)\ d(x,y)&=0\rightarrow x=y\\
2)\ d(x,y)&=d(y,x) \\
3)\ d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{align*} On définit aussi la boule ouverte par : $$
B(x,\varepsilon)=\{x\in X\mid |d(x,y)-d(x,x)|<\varepsilon\}
$$ J'ai trouvé dans un papier que l'ensemble des boules ouvertes forment une base pour la topologie induite par $d$. Comment peut-on montrer ce résultat .Merci
Réponses
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Par définition de topologie induite (j'imagine, comme ici ce n'est pas précisé), elles forment une prébase. Comment montrer qu'une prébase est une base ?
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Bonsoir,
il faut montrer que l'intersection de deux boules est encore une boule ,j'ai pu à montrer une inclusion et le me reste une . -
Salut, non ce n'est pas vrai. Dire que c'est une base c'est dire que tout ouvert est réunion de boules ouvertes.
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Par exemple le demi plan supérieur du plan n'est pas une boule.
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je n'ai pas compris Algèbre
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oui
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@GeorgeAbitbol : ah oui c'est vrai que mon message peut être interprété comme ça :-D
@Yousak : ce qu'Algèbre veut dire c'est que dans une base, on ne demande pas que l'intersection de deux membres de la base soit dans la base; on demande simplement que ce soit une union de membres de la base. Dans $\mathbb{R}^2$ muni de sa topologie usuelle par exemple, les boules forment une base, et pourtant, l'intersection des boules ouvertes de rayon $1$ et de centres $(0,0)$ et $(1,0)$ n'est clairement pas une boule. En fait dans $\mathbb{R}^2$, une intersection de deux boules est très rarement une boule. En revanche, c'est toujours une union de boules -
@ Max tout à fait d'ccord merci pour les explications :-)
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