limite et continuité en algèbre

Bruce · December 2017

Bonjour, je demande votre aide concernant un petit "mal-compris" de ma part.

E, F deux K-evn, A une partie non vide de E, a appartient à l'adhérence de A et f : E --> F
Jusque là tout est bon. Mais ...
Si f admet une limite en a et a appartient à A alors cette limite vaut exactement f(a).

Ceci est directement pris du cours. Ce que je ne comprends pas, c'est que pour qu'elle soit effectivement égale à f(a), on a besoin de la continuité de f en a non ?
Exemple f : R --> R
x --> sin(x) si x différent de 0
x --> 5 si x=0
Cette application possède bien une limite en 0 (limite à droite égale limite à gauche = 0) mais ce n'est pas f(0).
Qu'en pensez-vous ?

gb · December 2017

Bonjour,

Tu te trompes :

Bruce a écrit:

cette application possède bien une limite en 0

La fonction \(f\) que tu envisages n'a pas de limite en 0; il est par contre vrai que :
\[\lim_{x\overset{\neq}\to0} f(x) = 0\]
parce que j'envisage ici le cas de \(A=\mathbf{R}^*\).

Bruce · December 2017

en effet , mais dans l'énoncé , il n'est pas précisé que A est connexe par arc donc il se peut , dans le cas réel , que A ne soit pas un intervalle

gb · December 2017

Dans ton exemple, le problème n'est pas de savoir si A est connexe par arcs ou pas, mais de savoir s'il contient \(0\) ou pas.

Comme tu définis ta fonction sur \(\mathbf{R}\) et que tu ne précises pas davantage, tout mathématicien normalement constitué comprendra que tu raisonnes avec \(A=\mathbf{R}\), et que \(f\) n'a pas de limite en \(0\).
Mais si tu précises que \(0\) n'appartient pas à \(A\), et la notation \(x\overset\neq\to0\) est faite pour ça, alors on est d'accord sur le fait que la limite est nulle.