cohomologie de De Rham du cercle
Bonjour
Je cherche à calculer la chorologie cohomologie de De Rham du cercle Mmais j'ai du mal.
J'aimerais déjà montrer que $Z^1(S^1)=\Omega(S^1)$ c'est-à-dire que pour tout $\alpha\in\Omega(S^1)$, $X_0(\alpha(X_1))-X_1(\alpha(X_0)) = \alpha[X_0,X_1]$.
On m'a dit de regarder localement mais c'est la partie droite de l'égalité que je n'arrive pas à grand-choses.
Si $\alpha = \alpha^\theta d\theta, X_0 = X_0^\theta\partial_\theta, X_1 = X_1^\theta \partial_\theta$ alors la partie à gauche vaut
$X_1^\theta \cdot \alpha^\theta\cdot (\partial_\theta X_0^\theta) - X_0^\theta \cdot \alpha^\theta\cdot (\partial_\theta X_1^\theta)$.
Mais pour la partie de droite, je coinces très vite.
Je cherche à calculer la chorologie cohomologie de De Rham du cercle Mmais j'ai du mal.
J'aimerais déjà montrer que $Z^1(S^1)=\Omega(S^1)$ c'est-à-dire que pour tout $\alpha\in\Omega(S^1)$, $X_0(\alpha(X_1))-X_1(\alpha(X_0)) = \alpha[X_0,X_1]$.
On m'a dit de regarder localement mais c'est la partie droite de l'égalité que je n'arrive pas à grand-choses.
Si $\alpha = \alpha^\theta d\theta, X_0 = X_0^\theta\partial_\theta, X_1 = X_1^\theta \partial_\theta$ alors la partie à gauche vaut
$X_1^\theta \cdot \alpha^\theta\cdot (\partial_\theta X_0^\theta) - X_0^\theta \cdot \alpha^\theta\cdot (\partial_\theta X_1^\theta)$.
Mais pour la partie de droite, je coinces très vite.
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