espaces topologiques

chaimaa · December 2017

Ma question est la suivante : quelle est la relation entre un espace topologique séparé et le fait qu'il soit métriseable ? Si vous avez un exemple pour préciser ça serait mieux. Pouvez-vous m'expliquer pourquoi la topologie grossière n'est pas métriseable car elle est non séparée ?

Georges Abitbol · December 2017

Soit $(X,d)$ un espace métrique. Sais-tu démontrer qu'il est séparé ?

Poirot · December 2017

Attention, la topologie grossière sur un singleton est métrisable (et pas "maitriseable"). Sinon en général, en effet elle n'est pas métrisable car tout espace topologique métrisable (donc tout espace métrique, ça revient au même) est séparé. Il ne te reste plus qu'à le prouver ;-)

Fin de partie · December 2017

Attention, la topologie grossière sur un singleton n'est pas méprisable X:-(

(sans offense, je n'ai pas pu résister)

Algèbre · December 2017

Salut tu as métrisable implique séparé.

Par contre $\mathbb R^{\mathbb R}$ est séparé mais non métrisable pour la topologie produit car n'est pas à base dénombrable.

[Merci d'écrire ce que tu as à dire dans un seul message, surtout quand c'est aussi court ! Poirot]

Maxtimax · December 2017

Savoir qu'un espace topologique est métrisable te donne des informations que tu n'aurais pas eues initialement sans le savoir; au même titre que savoir qu'une fonction est dérivable par exemple te donne des informations sur cette fonction que tu n'aurais pas eues sans cette connaissance.

Ainsi un espace métrisable est séparé (les autres intervenants te l'ont laissé en exercice, je fais de même); mais aussi tout point a une base dénombrable de voisinages, et plein d'autres propriétés très intéressantes.

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