ensembles, ouverts, fermés
Bonjour, j’ai ce petit exercice à résoudre :
Trouver trois ensembles disjoints ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}\subset \left[ 0,1 \right]$ tels que :
$\overline{{{E}_{1}}}=\overline{{{E}_{2}}}=\overline{{{E}_{3}}}=\left[ 0,1 \right]$
Peut-on trouver de tels ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}$ ouverts ?
Peut-on trouver de tels ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}$ fermés ?
J’ai des idées, mais je ne suis pas sûr .
Trouver trois ensembles disjoints ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}\subset \left[ 0,1 \right]$ tels que :
$\overline{{{E}_{1}}}=\overline{{{E}_{2}}}=\overline{{{E}_{3}}}=\left[ 0,1 \right]$
Peut-on trouver de tels ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}$ ouverts ?
Peut-on trouver de tels ${{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}}$ fermés ?
J’ai des idées, mais je ne suis pas sûr .
Réponses
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Disjoints ou deux à deux disjoints ? Car si c'est le premier c'est facile !
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si si disjoints
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Dans ce cas tu prends $E_1 = \mathbb Q \cap [0, 1], E_2 = (\mathbb R \setminus \mathbb Q) \cap [0, 1]$ et $E_3$ n'importe quoi qui est dense dans $[0, 1]$ (même $[0, 1]$ si tu veux).
Ensuite tu peux au moins éliminer le cas fermé rapidement ! -
Poirot ton $E_{1}$ n'est pas ouvert dans $[0, 1]$.
Nizef pour ta deuxième question du que dire d'un fermé qui prend un coup de barre?
[Merci d'écrire ce que tu as à dire dans un seul message, surtout quand c'est aussi court ! Poirot] -
Bonjour.
On peut quand même facilement trouver trois ensembles deux à deux disjoints et qui conviennent pour la première question. Par exemple avec $E_2= (\mathbb Q+\sqrt 2)\cap [0,1]$.
Cordialement. -
Algèbre, je pense qu’il reste un fermé non ?
Que pensez-vous de :
$[0,1]\cap\mathbb D$, $[0,1]\cap(\Q\setminus\mathbb D)$ et $[0,1]\setminus\Q$ ? -
Oui il reste fermé. Je ne sais pas ce qu'est ton $\mathbb{D}$.
Par ailleurs $[0,1]?\mathbb Q$ n'est pas ouvert dans $[0,1]$. Donc pour "Peut-on trouver de tels E1,E2,E3 ouverts ? " cela ne montre rien.
[Merci d'écrire ce que tu as à dire dans un seul message, surtout quand c'est aussi court ! Poirot] -
Si $E_1$ est ouvert (non vide), alors il existe $x\in E_1$ et $\epsilon > 0$ tel que $A = ]x-\epsilon, x+\epsilon [\subset E_1$
On a alors que $E_2 \subset [0,1] - A$, que peux tu en déduire? -
Algebre, j’ai juste répondu à la première question
-
gerard0
Où sont-ils les ${{E}_{1}}$ et ${{E}_{3}}$ ? -
Désolé, j'avais en tête les messages précédents. Donc $E_1=[0,1]\cap \mathbb Q$ et $E_3=[0,1]-(E_1 \cup E_2]$ ou n'importe quel ensemble dense dans celui-ci.
Rappel : $E_2= (\mathbb Q+\sqrt 2)\cap [0,1]$
Cordialement.
NB : As-tu conclu pour tes deux dernières questions ? -
gerard0 ${{E}_{1}}$ et ${{E}_{2}}$ ne sont pas disjoints
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que penses-tu de :
$\left( \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \right)\cap \left[ 0,1 \right]$ et $\left( \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D} \right)\cap \left[ 0,1 \right]$ et $\mathbb{D}\cap \left[ 0,1 \right]$ -
nizef écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1579486,1580460#msg-1580460
> gerard0 ${{E}_{1}}$ et ${{E}_{2}}$ ne sont pas disjoints
Ça m'étonnerait ! Trouve un élément commun, tu auras prouvé que $\sqrt 2$ est rationnel !! -
Est-ce que : ${{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}=\varnothing $
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C'est ce que gerard0 vient de te dire !
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Moi je vois que : ${{E}_{1}}\subset {{E}_{2}}$
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$$E_1 = [0, 1] \cap \mathbb Q = \{q \in \mathbb Q, 0 \leq q \leq 1\}$$ $$E_2 = (\mathbb Q + \sqrt 2) \cap [0, 1] = \{r+\sqrt 2, r \in \mathbb Q \text{ et } 0 \leq r + \sqrt 2 \leq 1\}$$ Si $x$ est un élément commun à ces deux ensembles alors $x = q = r+\sqrt 2$ avec $q,r \in \mathbb Q$, d'où $\sqrt 2 = q-r \in \mathbb Q$, ce qui n'est pas.
-
nizef confond peut-être $\Q+\sqrt2$ avec $\Q[\sqrt2]$.
-
Voilà exactement GaBuZoMeu , moi j’ai compris qu’on va rajouter $\sqrt{2}$ à l’ensemble $\mathbb{Q}$ , et pas à chaque élément de l’ensemble $\mathbb{Q}$
C’est presque ce que j’ai noté :
$\left( \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \right)\cap \left[ 0,1 \right]$ et $\left( \mathbb{Q}\backslash \mathbb{D} \right)\cap \left[ 0,1 \right]$ et $\mathbb{D}\cap \left[ 0,1 \right]$
Maintenant, on sait que ${{E}_{1}}$ et ${{E}_{2}}$ est dense dans $\mathbb{R}$ , reste à montrer que ${{E}_{3}}=\mathbb{Q}\backslash \mathbb{D}$ est aussi dense dans $\mathbb{R}$ -
nizef écrivait:
> Voilà exactement GaBuZoMeu, moi j’ai compris qu’on va rajouter $\sqrt{2}$ à l’ensemble $\mathbb{Q}$
Ça donnerait $\Q\cup\{\sqrt2\}$. ;-) -
ok ok GaBuZoMeu
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Bonjour!
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