Riemann-Lebesgue et duaux topologiques

Bonjour,
je souhaite remettre à plat des résultats bien connus de l'analyse de Fourier à la sauce topologique.

Dans le cadre des séries de Fourier
En considérant un segment $I = [-\pi,\pi]$ et une fonction $e_k\colon t\mapsto \exp(\mathrm{i}kt)$, pour tout $t\in I$ et $k\in\mathbb{Z}$, je souhaite montrer que la suite $(e_k)_{k\in\mathbb{Z}}$ converge faiblement vers la fonction identiquement nulle $0$ dans $L^p(I)$ où $p$ est un nombre réel $1\leq p<+\infty$.

En d'autre terme, on veut montrer que $(\mathbf{f} \mid e_k) \to 0$ quand $|k|\to+\infty$ pour tout $\mathbf{f}\in(L^p(I))'$ et où $(\cdot \mid \cdot) $ désigne le crochet de dualité.

Nous avons l'identification $(L^p(I))'\simeq L^q(I)$ avec $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Ainsi il existe une fonction $f\in L^q(I)$ telle que $(\mathbf{f} \mid e_k) = \int_{-\pi}^\pi f(t)e_k(t)\mathrm{d}t$. Et comme $I$ est borné nous avons l'inclusion $L^q(I) \subset L^1(I)$. Ce qui fait que nous pouvons alors appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue qui dit précisément que cette intégrale tend vers $0$ quand $|k|$ tend vers l'infini.

Ainsi la suite de fonctions $(e_k)_k$ tend faiblement vers la fonction identiquement nulle dans $L^p$ avec $1\leq p<+\infty$


Est-ce correct ?


Dans le cas des transformées de Fourier
Maintenant, si on prend $I=\mathbb{R}$ on perd les inclusions des espaces $L^p$ (par exemple le sinus cardinal est dans $L^2$ mais pas dans $L^1$).

D'autre part les fonctions ne sont plus indexées par un entier $k$ mais par un réel $\nu$, je ne sais pas si ça implique quelque chose de particulier : $e_\nu\colon t\mapsto \exp(\mathrm{i}\nu t)$.

Mais ici ils disent quelques choses que je n'arrive pas à retrouver

Dans le cas où $q=1$ et $p=+\infty$, on veut montrer que $(\mathbf{f} \mid e_\nu) \to 0$ quand $|\nu|\to+\infty$ pour tout $\mathbf{f}\in(L^\infty(\mathbb{R}))'$.
S'il existe une fonction $f\in L^1(\mathbb{R})$ telle que $(\mathbf{f} \mid e_\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\exp(\mathrm{i}\nu t)\mathrm{d}t$. Le lemme de Riemann-Lebesgue sert une nouvelle fois pour conclure.

Si j'ai compris ce que j'ai lu, le dual topologique de $L^\infty(\mathbb{R})$ contient strictement $L^1(\mathbb{R})$. Je me dis donc que rien ne garantit que je trouve une fonction $f$.

Ainsi, je ne peux pas dire que la "suite" de fonctions $(e_\nu)_\nu$ tend faiblement vers la fonction identiquement nulle dans $L^\infty$ car il me manque des cas.


Ai-je le droit d'inverser le raisonnement en considérant une suite de forme $\mathbf{e}_\nu\in (L^1(\mathbb{R}))'\simeq L^\infty(\mathbb{R})$ ce qui donnerait

$(\mathbf{e}_\nu \mid f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(\mathrm{i}\nu t) f(t)\mathrm{d}t$ pour tout fonction $f\in L^1(\mathbb{R})$ ?

J'ai peur qu'il y ait des histoires de réflexivité ou autre non ?

Un grand merci par avance pour vos lumières (en espérant que certains aient le courage de finir cette tartine.

Cordialement,
Mister Da