L'existence de deux ouverts séparés ?

abdolahbd · December 2017

Bonjours,
j'ai besoin des'idees :

Soit X un espace métrique.
Soient A et B deux fermés disjoints de E (espace métrique), comment on montre qu' il existe une application continue de X dans R égale à 0 sur A et à 1 sur B ?
Pour déduire qu'il existe deux ouverts U et V contenant respectivement A et B tels que l'intersection de U et V est vide.

Comment on va choisir cette application pour montrer l'existence de deux ouverts ?

Merci d'avance.

Krokop · December 2017

Bonjour,

Comment construire un ouvert $U$ à partir de ta fonction continue ? Et ensuite comment traduire que $A\subset U$ ?...

J'espère que ça suffira comme indication.

GaBuZoMeu · December 2017

Quelle fonction continue peut-on associer à un fermé non vide $A$ d'un espace métrique $(E,d)$ ? La fonction "distance au fermé $A$" est un grand classique :
$$\begin{aligned}
E&\longrightarrow \R\\
x&\longmapsto d(x,A)=\inf(\{d(x,y)\mid y\in A\})\;.
\end{aligned}$$
Quelles sont les propriétés de cette fonction ?

abdolahbd · December 2017

Krokop

Tu peux detailler un peu j'ai déjà essayé avec l'application dA(x)=d(x,A) pour construire U mais je ne sais pas comment on utilise cette application et pourquoi égale 1 et 0 sur A et B .

GaBuZoMeu · December 2017

Quelles sont les propriétés de la fonction $x\mapsto d(x,A)$ ?

abdolahbd · December 2017

GaBuZoMeu

pardon

cette application est Lipschitzienne .

GaBuZoMeu · December 2017

Oui, mais encore ? Où s'annule-t-elle ? Quel est son signe ?
Tu as deux fermés disjoints $A$ et $B$, donc deux fonctions $x\mapsto d(x,A)$ et $x\mapsto d(x,B)$ dont j'essaie de t'extorquer les propriétés. À toi de bricoler avec ces deux fonctions pour fabriquer une fonction continue sur $E$ qui vaut $0$ sur $A$ et $1$ sur $B$.

Krokop · December 2017

GaBuZoMeu a mieux compris que moi. Ta question étant bizarrement formulée j'en avais déduit que tu voulais en déduire qu'il existe blabla sachant qu'il existe une fonction continue blabla.

abdolahbd: essaye de faire l'exercice, quitte à bloquer. C'est un joli exercice que tu peux faire, surtout avec les indications de GaBuZoMeu !

abdolahbd · December 2017

Cette application s'annule si x appartient à A et son signe toujours positif.
J'ai essayé de construire une application qui donne 1 sur B et 0 sur A à partir de ces deux applications mais malheureusement je ne trouve rien.

abdolahbd · December 2017

Krokop

Cet exercice a multiples questions, et ma question c'est juste déduire l'existence appartir à partir d'une application lipschitzienne. c'est pas blabla comme tu dis.

Tryss · December 2017

Que penses tu de la fonction $h$ qui vaut $d(x,A)$ si $d(x,A)<d(B,A)$ et $d(B,A)$ sinon?

abdolahbd · December 2017

Tryss
le premier cas indique que x n'appartient pas à B et h(x)=d(x,A)
et le deuxième cas h(x)=d(B,A) sinon

Maintenant mon problème est comment passer à la construction de U et V ?

Chaurien · December 2017

C'est un théorème de séparation connu, qui porte un nom propre. Je le pose en colle de temps en temps, mais avec des questions préparatoires. Je serais très étonné qu'il n'y ait pas de telles questions dans ce cas. De toutes façons je ne réponds pas à ceux qui ne respectent pas l'orthographe, et je conseille à tout le monde de faire de même.

GaBuZoMeu · December 2017

Moi, je travaillerais plutôt avec les deux fonctions $x\mapsto d(x,A)$ et $x\mapsto d(x,B)$. Je regarderais leur somme, leur différence, bref j'essaierais des trucs.
Par exemple, fabriquer une fonction qui vaut $-1$ sur $A$, $1$ sur $B$ et entre les deux sur $E\setminus (A\cup

$.

abdolahbd · December 2017

GaBuZoMeu

D'aprés votre exemple je vois qlq choses :

Par exemple l'application g tq:

g(x)=d(x,A) si x appartient à A
Et
g(x)=1-d(x,B) si x appartient à B

Poirot · December 2017

Et tu définis ta fonction comment hors de $A$ et $B$ ? Et il ne faut pas oublier la continuité.

GaBuZoMeu · December 2017

Je t'ai pratiquement mâché tout le travail en parlant de la différence et de la somme ....

abdolahbd · December 2017

Malheuresement, je ne sais pas comment choisir cette application pour realiser les conditions et la continuite

Tryss · December 2017

J'ai donné un exemple plus haut d'une telle fonction (enfin, la mienne vaut d(A,B) sur B, au lieu de 1, mais je suppose que tu sais faire une division...)

GaBuZoMeu · December 2017

Tu n'y mets pas vraiment du tien !
Que peux-tu dire de la fonction somme des distances à $A$ et $B$, sachant que $A$ et $B$ sont des fermés disjoints ?
Peux tu comparer la différence des distances à la somme des distances, en valeur absolue ? Quand est-ce que $d(x,A)-d(x,B)=d(x,A)+d(x,B)$ ? etc.

GaBuZoMeu · December 2017

@Tryss : $d(B,A)$ peut très bien être nul. Un peu embêtant pour ta suggestion, non ?

abdolahbd · December 2017

J'ai trouvé une fonction :

g(x)=d(x,A)/(d(x,A)-d(x,B))

GaBuZoMeu · December 2017

Mauvaise pioche ! D'abord, le dénominateur peut s'annuler sur $E$ ! Je t'ai posé des questions. Pourquoi ne fais-tu pas l'effort d'y répondre ?
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