Espace de Hilbert et projection

Bonjour à tous !

En pleines révisions pour mes partiels de S5, je suis un tombé sur un exercice d'annales qui a eu raison de moi et j'en appelle donc à votre aide.
Voici l'énoncé :

Soit $(H,\langle .,. \rangle )$ un espace de Hilbert et u un vecteur unitaire de H. On pose $C = \{x \in H / \langle x,u\rangle = 1\}$

1) Montrer que $C$ est un convexe fermé de $H$
2) Pour tout $x \in H$ on pose $T(x)=x+(1- \langle x,u\rangle)u$
a) Vérifier que $T(x) \in C$
b) Pour tout $y \in C$, expliciter le produit scalaire $\langle x-T(x),y-T(x)\rangle$
c) En déduire, pour tout $x \in H$, la projection $P_C(x)$ de x sur C
3) Pour tout $x \in H$, calculer $d(x,C)$

Je n'ai pas eu de problème pour la question 1) et pour la question 2)a), voici ma réponse pour la question 2)b) :

$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=\langle x-x-(1- \langle x,u\rangle)u,y-T(x)\rangle$
$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=\langle -(1- \langle x,u\rangle)u,y-T(x)\rangle$
$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=-(1- \langle x,u\rangle)\langle u,y-T(x)\rangle$
$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=-(1- \langle x,u\rangle)(\langle u,y\rangle-\langle u,T(x)\rangle)$
Et comme on a $y \in C$ et $\forall x \in H, T(x) \in C$
$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=-(1- \langle x,u\rangle)(1-1)$
$\langle x-T(x),y-T(x)\rangle=0$

En revanche, je ne vois pas comment déduire de ce résultat la projection de x sur C. Me suis-je trompé dans le calcul ? D'autant plus que $T$ n'est pas linéaire donc l'objectif n'est pas de me faire montrer que $T=P_C$... Je me suis dit que ça devait être lié au fait qu'on devrait avoir $\forall x \in H, \forall y \in C, \langle x-P_C(x),y-P_C(x)\rangle \leq 0$ mais encore une fois je ne vois pas comment lier cette expression avec le résultat de la question 2)b).

Merci d'avance pour tout l'aide que vous pouvez m'apporter !