Compacité

Si $K$ est compact, alors il est contenu dans un disque $D$.
Donc $\mathbb C \backslash K=\mathbb C \backslash D \cup D \backslash K$
La suite en blanc
Or, $\mathbb C \backslash D $ est connexe.
Donc l'une des composantes connexe contient $\mathbb C \backslash D $ et est bel et bien non bornée.
Quant aux autres, elles sont toutes contenues dans $D \backslash K$ et donc sont toutes bornées.
Non?

@Chaurien : il n'est question que de composante connexe ici

@ Maxtimax
Mon avis est que ce forum n'est pas un distributeur automatique de réponses calibrées, mais qu'il est fait pour tous ceux qui y participent, et qu'à l'occasion d'une question, il ne doit pas être interdit d'élargir, d'approfondir, de prolonger ladite question.
Moi je ne suis pas très calé en topologie, et quand je pense à un compact du plan, je pense spontanément que son complémentaire doit être connexe par arcs : je me vois le contourner pour aller d'un point à un autre ;-). Mais la démonstration se trouve plus compliquée que ce que j'avais prévu, et alors je pose la question, voilà tout. En savoir plus, cela me semble l'attitude normale, peut-être pas pour celui dont le seul but est de rendre sa copie, mais pour un matheux, tout simplement.

@Chaurien : je suis bien d'accord; mais avant d'approfondir, je suis d'avis qu'il faut dans un premier lieu répondre à la question qu'on se pose ;-)

@Chaurien : excuse-moi, j'avais bien vu que blueberry avait répondu (sans trop lire ce qu'il avait écrit; mais l'indice donné me rappelait ma solution donc...) ; mais j'ai dû mal interpréter tes messages en y comprenant que tu n'en était pas satisfait. Au temps pour moi, l'incompréhension est donc levée; et si tu veux on peut approfondir en parlant des composantes connexes par arcs ;-)

Tu parles des frontières des ouverts?
En tout cas dans $\mathbb C$, les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes (ça caractérise les espaces localement connexes, ce qu'est $\mathbb C$).
Après dans n'importe quel espace topologique, la frontière d'un ouvert est toujours incluse dans le complémentaire de cet ouvert.
Donc tu as la réponse à ta question.

La frontière $\partial U$ d'une partie $U$, c'est l'adhérence $\bar{U}$ de $U$ privée de son intérieur $\stackrel{\circ}{U}$. Si $U$ est ouvert, c'est que $U$ est égal à son intérieur $\stackrel{\circ}U$. Mais alors, $\partial U=\bar{U}\setminus U$ : par définition, l'intersection avec $U$ est vide.

Edit : en bref, si $U$ est ouvert : $\partial U=\bar{U}\setminus\stackrel{\circ}U=\bar{U}\setminus U\subset U^c$.

C'est moi qui compliquais...