Suite et valeurs d'adhérence

Bruce
Bruce
dans Topologie
Une suite peut-elle posséder une infinité de valeurs d'adhérence ??

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Oui.

    Par exemple, si $(u_n)$ est une énumération de $\mathbb{Q}$ alors l'ensemble de ses valeurs d'adhérence est $\mathbb{R}$

    Il me semble d'ailleurs que tout fermé de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite
  • Dom
    Dom
    On peut même la construire à la main.
    L'indice n, un entier naturel.

    On part de 0.
    On ajoute 1/n jusqu'à 1.
    Puis on diminue de 1/n jusqu'à 0.
    Etc.
    Ainsi, on balaye le segment [0,1] avec un pas de plus en plus petit.

    Les valeurs d'adhérence sont le segment [0,1].
  • Math Coss
    Math Coss
    Variante : en posant $u_n=(1+\sin\sqrt{n})/2$ pour tout $n$, l'ensemble des valeurs d'adhérence est $[0,1]$. Deux ingrédients : $\bigl(\sqrt{n}\bigr)_{n\in\N}$ diverge vers l'infini et $\lim_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)=0$.

    Mais il reste un peu de travail pour passer de $[0,1]$ à « tout fermé »...
  • millie
    millie
    Il n'y a pas aussi plus simplement $u_n = \sin (n)$ ?

    edit : enfin... plus simple...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Plus généralement, soit $(u_n)$ une suite bornée telle que $u_{n+1}-u_n \to 0$. Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est un intervalle. Donc si $(u_n)$ ne converge pas...
  • Chaurien
    Chaurien
    Si Math Coss a pris $u_n=(1+\sin\sqrt{n})/2$, c'est je pense pour obtenir la démonstration du fait que l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle, en conséquence de : $u_{n+1}-u_n \rightarrow 0$.

    Comme dit Millie la suite $u_n=\sin n$ (ou $u_n=\cos n$) est plus simple comme expression, mais pour démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence est $[-1,1]$ il faut une argumentation spécifique.

    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @Chaurien: l'argument pour la suite de Millie est "simplement" que $\mathbb{N}+2\pi\mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$, non ?
  • Dom
    Dom
    On peut aussi jouer avec les séries semi-convergentes.
    On sait qu'elles ne sont pas commutativement convergentes.
    On peut alors réordonner les termes afin que la suite des sommes partielles possède un intervalle comme valeurs d'adhérence, aussi grand que l'on souhaite, même $\mathbb R$ tout entier.
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Maxtimax
    Pour $u_n = \sin n$ effectivement on utilise la densité de $\mathbb{N}+2\pi\mathbb{Z}$ dans $[-1,1]$, mais ceci n'est pas évident.
    Pour $u_n = \cos n$, comme la fonction $\cos$ est paire, on peut utiliser la densité de $\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}$ dans $[-1,1]$, ceci découle de l'étude des sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$.
    Il faut ensuite expliquer que dans ces deux cas l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est égal à l'adhérence de l'ensemble des valeurs de cette suite, ce qui n'est pas toujours vrai.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @Chaurien : la densité de $\mathbb{N}+2\pi\mathbb{Z}$ découle en fait de celle de $\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}$ :-D

    La formule classique de l'ensemble des valeurs d'adhérence en fonction de l'ensemble des valeurs suffit, puisque l'ensemble des valeurs de la suite privé d'un ensemble discret est dense si et seulement si l'ensemble des valeurs de la suite est dense, non ? (et une union finie de sous-ensembles discrets de $\mathbb{R}$ est discrète)
  • Chaurien
    Chaurien
    @ Maxtimax
    Tu as rédigé la démonstration de la densité de $\mathbb{N}+2\pi\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{R}$ moyennant la densité de $\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{R}$ ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Et quelle est cette formule classique de l'ensemble des valeurs d'adhérence en fonction de l'ensemble des valeurs ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @Chaurien : je suis d'accord que la preuve n'est pas triviale, mais c'est un exo classique de prépa.
    Quant à la formule, je pensais à $\quad\displaystyle\bigcap_n \overline{\{u_p \mid p\geq n\}}$
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