Adhérence et intérieur

Salut,

pour prolonger la remarque de Phare et se convaincre que ce que tu veux démontrer est faux, tu peux même chercher un exemple de partie $X$ de $\mathbb{R}$ (muni de sa topologie habituelle) telle que les ensembles suivants sont distincts deux-à-deux : $X$, $\mathring{X}$, $\overline{X}$, $\mathring{\overline{X}}$, $\overline{\mathring{X}}$, $\mathring{\overline{\mathring{X}}}$, $\overline{\mathring{\overline{X}}}$.

m.

[Je déplace ce fil dans le sous-forum Topologie.]

Si $i$ et $c$ sont des applications croissantes et idempotentes d'un ensemble ordonné $(E,\leq)$ dans lui-même vérifiant $$\forall x\in E\ \ (i(x)\leq x \text{ et } x\leq c(x))\;,$$ alors $i\circ c\circ i\circ c=i\circ c$ et $c\circ i\circ c\circ i=c\circ i$.
En particulier, la propriété que tu souhaites démontrer vaut pour les fermés.

J'avais oublié de cocher la case "envoyer les réponses de cette discussion sur ma messagerie" et je m'étonnais de n'avoir eu aucune réponse à ce fil depuis hier. Je venais pour ajouter ce qu'a écrit, Maxtimax, à savoir qu'on ne peut pas aller plus loin.

Pour ne pas avoir fait le voyage pour rien, je précise, à l'attention de Bruce : sous les mêmes hypothèses que dans mon message précédent, on peut montrer que $\mathring{\overline{\mathring{\overline{X}}}} = \overline{\mathring{\overline{\mathring{X}}}}$.