homéomorphisme

Bonjour,

En générale la réciproque d’une fonction continue n’est pas continue.

Si tu restreins aux fonctions définies sur un intervalle réel, c’est autre chose...

Bruce:

La définition d'une fonction continue est que l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert. L'image directe d'un ensemble ouvert n'est pas nécessairement un ouvert autrement dit si la fonction réciproque existe elle n'est pas nécessairement continue.

Soit $\mathbf{U}=\{z\in\C,\ |z|=1\}$. L'application $f:\left[0,2\pi\right[\to\mathbf{U}$, $t\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ est continue et bijective mais sa réciproque ne l'est pas : pourquoi ?

L'application $f$ de $[0;1[ \cup [2;3]$ dans $[0;2]$ définie par $f(x) = x$ si $x\in [0;1[$ et $-x+4$ si $x\in [2;3]$.

moduloP:
Je suis ignare en topologie je ne connais que des rudiments de topologie définie sur un espace métrique. :-D

Bruce : relis calmement le message de Math Coss !

L'exemple de l'intervalle qui se recolle selon un cercle est presque le même exemple que Guego, à ceci près que les extrémités « libres » sont elles-mêmes collées ensemble dans un cas, pas dans l'autre.

Pour le redire avec un vocabulaire encore plus imagé : on prend deux morceaux de ficelles $A$ et $B$ dont on numérote les extrémités : $A_1$ et $A_2$ pour $A$, $B_1$ et $B_2$ pour $B$. On recolle $A_2$ et $B_1$ bout à bout : c'est une opération continue mais l'opération inverse, qui nécessite un coup de ciseaux, ne l'est pas. À présent, si par fantaisie on avait au préalable recollé les extrémités $A_1$ et $B_2$, ça ne changerait rien à l'affaire.

Essai de réfléchir là dessus. Par ailleurs as tu étudié un peu de topologie générale?

Ah oui j'ai oublié un s à raisonement mais je n'arrive pas à corriger(un bug.).

Soit $f:\left[0,2\pi\right[\to\mathbf{U}$, $t\mapsto\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$. On a : $\displaystyle\lim_{t\to2\pi^-}f(t)=1=f(0)$.
Si $f$ était un homéomorphisme, sa bijection réciproque $f^{-1}$ serait continue, ce qui justifierait l'égalité avec astérisque ici :
\[2\pi=\lim_{t\to2\pi^-}t=\lim_{t\to2\pi^-}f^{-1}\bigl(f(t)\bigr)\stackrel{*}{=}f^{-1}\Bigl(\lim_{t\to2\pi^-}f(t)\Bigr)=f^{-1}(f(0))=0,\]ce qui est faux.

Mais l'argument de Math Coss(et pas l'argument de l'exponentiel.). est aussi très bien.

Le point clé de $f$, c'est de recoller les deux extrémités de l'intervalle : que $t$ se rapproche de $0$ (par valeurs supérieures) ou de $2\pi$ (par valeurs inférieures), $f(t)$ tend vers $1$ : ça veut dire que quand on applique $f^{-1}$, « on donne un coup de ciseaux », ce qui contredit la continuité de $f^{-1}$. Autrement dit mais toujours de façon imagée, $f^{-1}$ sépare les points de $\mathbf{U}$ qui sont de part et d'autre de $1$. Après, la formulation, c'est une question de pratique.

C'est la même idée que l'exemple $f$ de Guego plus haut : que $t$ se rapproche de $1^-$ ou de $2^+$, $f(t)$ tend vers $1$ ; ça veut dire que $f^{-1}$ sépare les points au-dessus et au-dessous de $1$.