fonction réelle continue

Bruce
Bruce
dans Topologie
Toute fonction réelle continue définie sur un compact est bornée et atteint ses bornes. En effet l'image d'un compact par une fonction continue est un compact et comme tout compact est fermé borné, on trouve le résultat. Peut-on étendre ce théorème à des applications à valeurs non forcément réelles (complexe, vecteurs, etc. )

Réponses

  • chat_perdu
    chat_perdu
    D'une façon générale, si $E$ et $F$ sont deux espaces topologiques et $f : E \rightarrow F$ est continue, alors pour tout compact $K$ de $E$, $f(K)$ est un compact de $F$.
  • Archimède
    Archimède
    ... à condition que $F$ soit un espace séparé.
  • Bruce
    Bruce
    Et si on écrivait que toute fonction définie sur un compact est bornée est atteint ses bornes sans forcément qu'elle soit à valeurs réelles, cela reste juste ?
  • chat_perdu
    chat_perdu
    Merci Archimède ;-)

    Que signifie "atteindre ses bornes" quand l'espace d'arrivée n'est pas $\mathbb{R}$ ?
  • Bruce
    Bruce
    C'est à dire qu'on peut trouver un élément de l'espace de départ dont la norme de son image égale la norme infinie de f.
  • Poirot
    Poirot
    C'est quoi la norme infinie de $f$ quand $f$ prend des valeurs qui sont des polynômes à coefficients dans $\mathbb Z/p \mathbb Z$ par exemple ?
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