Ouvert relatif

Bonjour,

Lorsque tu es dans un ouvert, tu peux te déplacer sans contrainte de direction ; ce n'est qu'au niveau de l'amplitude du mouvement que tu peux être gêné.
Dans les espaces métriques, on formalise cette idée par l'existence de boules contenues dans l'ouvert.

Lorsque tu travailles dans \(\mathbf{R}\), l'intervalle \(]-1,1[\) est un ouvert : où que tu sois, même très près d'une extrémité de l'intervalle, disons que tu te places en \(0,\!999\), tu peux encore te déplacer aussi bien à gauche, en direction de \(-1\), qu'à droite, en direction de \(1\) ; le fait que tu aies plus d'aisance à gauche qu'à droite n'a pas d'importance.

Mais voilà que tu es contraint de travailler avec la fonction racine carrée : tu ne peux plus rester dans \(\mathbf{R}\) et il te faut te restreindre à \([0,+\infty[\).
L'ouvert \(]-1,1[\) se restreint alors à \([0,1[\), ouvert relatif à \([0,+\infty[\), intersection avec \([0,+\infty[\) de l'ouvert initial \(]-1,1[\).
Ce qu'il faut comprendre, c'est que, bien que tu puisses te placer en \(0\), à la borne fermée, cela ne limite pas ta marge de manœuvre : tu as l'impression que tu ne peux te déplacer que vers la droite, et que tu es désormais bloqué à gauche, mais cela vient uniquement de ce que tu gardes le souvenir de \(\mathbf{R}\) et de son ouvert \(]-1,1[\).
En fait, les nombres réels négatifs ont disparu, comme s'ils n'avaient jamais existé : à partir du moment où tu te restreins à \([0,+\infty[\), il n'y a plus rien à gauche de \(0\), et la borne fermée n'est plus un blocage.

C'est ça.