bonjour,
l'espace des application linéaires continues muni de la norme subordonnée, est une algèbre normée pour la seconde loi interne "o"=composé ou x=produit d'application. Plus généralement, (L(E,F),+,o,.) est-elle une K algèbre ? Merci de votre aide.
Réponses
\newcommand{\cc}{\mathbb{C}}$
Si $E,F$ sont des $K$-espaces vectoriels quelconques sur un corps arbitraire $K$, $L(E,F)$ (applications linéaires tout court) est une $K$-algèbre pour les lois $+$ et $\circ$, il suffit d'appliquer bêtement la définition. Aucune topologie là-dedans.
Si tu demandes à ce que tes applications linéaires soient continues, la réponse est encore oui (dans ce cas, j'imagine que $K=\rr$ ou $\cc$). Evidemment, c'est toujours pour les lois $+$ et $\circ$. De toute façon, si on réfléchit deux secondes, on voit bien que cela ne peut pas être le produit: et d'une , comment veux-tu faire un produit dans un espace vectoriel $F$, et de deux,même si c'était possible (par exemple si $F=\rr$), tu crois vraiment que le produit de deux fonctions linéaires est encore linéaire ?