Connexité
Bonjour,
l'image d'un connexe par arcs par une application continue est un connexe par arc, il suffit de composer les deux application pour obtenir une application continue reliant tout les points. Maintenant que pensez vous de la réciproque ? Est-ce-que l'image réciproque de tout connexe par arcs est connexe par arcs ? Si ce n'est pas le cas, connaissez vous s'il vous plait des conditions permettant cela ? Cela me rappelle la propriété des compact " l'image de tout compact est compact par une application continue", dont la réciproque n'est vrai qu'en cas d'application propre.
J'ai pensé à ça dans le cadre d'un exercice pour montrer la connexité par arc de GLn(C) et je me suis dis pourquoi ne pas profiter de la connexité par arcs de son image C* par la fonction continue déterminant. Merci de votre aide.
l'image d'un connexe par arcs par une application continue est un connexe par arc, il suffit de composer les deux application pour obtenir une application continue reliant tout les points. Maintenant que pensez vous de la réciproque ? Est-ce-que l'image réciproque de tout connexe par arcs est connexe par arcs ? Si ce n'est pas le cas, connaissez vous s'il vous plait des conditions permettant cela ? Cela me rappelle la propriété des compact " l'image de tout compact est compact par une application continue", dont la réciproque n'est vrai qu'en cas d'application propre.
J'ai pensé à ça dans le cadre d'un exercice pour montrer la connexité par arc de GLn(C) et je me suis dis pourquoi ne pas profiter de la connexité par arcs de son image C* par la fonction continue déterminant. Merci de votre aide.
Réponses
-
La réciproque est bien évidemment fausse, il suffit de considérer la projection $\{0,1\}\times [0,1]\to [0,1]$.
Quant à ton allusion concernant l'image réciproque d'un compact, vu que la propreté se définit justement par le fait que l'image réciproque de tout compact est compacte ... -
Salut, pour la question du $Gl_{n}(\mathbb{C})$ je te conseil d'utiliser une trigonlaisation et le fait que $\mathbb{C}*$ est connexe par arcs.
-
À moins que tu n'es déjà résolu le problème bien sur.
-
J'ai effectivement employé la connexité de C* mais sans trigonalisation, je n'ai pas su profiter de la trigonalisation évidente dans C malheureusement.
-
Je me demandais aussi après avoir consulté wiki https://fr.wikipedia.org/wiki/Connexité_(mathématiques)#Composantes_connexes
partie propriétés, ils affirment que les composantes connexes sont toujours fermées. GLn+(R) est une composante connexe non fermée car 1/n.In converge vers 0 qui n'appartient pas à GLn+(R). -
Attention c'est fermé dans $Gl_{n}(\mathbb{R})$. Comme $(\frac{1}{n}Id)_{n \in \mathbb{N}}$ ne converge pas dans $Gl_{n}(\mathbb{R})$ rien de choquant. Donc les composantes connexes sont fermées mais dans $Gl_{n}(\mathbb{R})$ reste vrai.
Si par contre tu te places dans $M_{n}(\mathbb{R})$ il n'y a qu'une seule composante connexe l'espace étant connexe car convexe(donc connexe par arcs.). -
Le fait qu'une composante connexe est fermée dans un espace topologique $E$ découle de la chose suivante : si $A \subset B \subset \bar{A}$ avec $A$ connexe alors $B$ est connexe. C'est en particulier vrai pour $B = \bar{A}$.
Donc si $A$ est une composante connexe(c'est à dire connexe maximal pour l'inclusion.). alors $A = \bar{A}$. Donc $A$ est fermée. -
Merci Algèbre
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 28
+21 Invités