Tout produit fini de compacts est compact

@ Bruce.
Il s'agit de compacts métriques, pour qui on peut utiliser la définition séquentielle. .
ta démonstration ne marche pas car les sous-suites de chacun des compacts n'ont pas nécessairement les mêmes indices et tu ne peux donc en faire une suite de l'ensemble-produit.

Détaillons. Soient $A$ et $B$ deux espaces métriques compacts, et une suite $x=(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de $A$, et une suite $y=(y_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ de $B$.
Si tu extrais brutalement une suite convergente de $x$ et une suite convergente de $y$, tu n'es pas assuré de pouvoir en faire une suite extraite de $(x,y)$, il faut pour cela que les indices soient les mêmes.
Alors, soit $x_{n}^{\prime }=x_{\phi (n)}\rightarrow a\in A$, avec bien sûr $ \phi : \mathbb N \rightarrow \mathbb N$, strictement croissante.
On garde les mêmes indices pour $y$, soit : $y_{n}^{\prime }=y_{\phi (n)}$. De cette suite de $B$, on extrait une suite convergente : $y_{n}^{\prime \prime }=y_{\psi (n)}^{\prime }\rightarrow b\in B$, d'où : $y_{n}^{\prime \prime }=y_{\omega (n)}$, avec $\omega =\phi \circ \psi $.
Soit $x_{n}^{\prime \prime }=x_{\omega (n)}=x_{\phi (\psi (n))}=x_{\psi(n)}^{\prime }$. Suite extraite de $x_{n}^{\prime }$, elle a la même limite $a$. D'où : $(x_{\omega (n)},y_{\omega (n)}) \rightarrow (a,b)$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Salut, rajouts : si $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ sont des espaces topologiques compacts, et si tu as une suite $(x^{n})_{n \in \mathbb{N}} = ((x_{i}^{n})_{i \in \mathbb{N}})_{n \in \mathbb{N}}$ du produit, alors si pour chaque suite d'indice $i$ tu as une suite extraite $((x_{i}^{\phi_{i}(n)})_{i \in \mathbb{N}})$ qui converge alors essai de montrer que $(x^{\phi_{n}(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge pour la topologie produit et est extraite de $(x^{n})_{n \in \mathbb{N}}$.

Dans le cas de métrisabilité tu peux t'en sortir en mettant une métrique sur le produit qui induit la topologie produit.

1. Pour la «petite question », il n'est pas rare que les questions soient mal posées. J'ai considéré des espaces métriques compacts parce que c'est là que le critère séquentiel s'applique.
2. Pour le cas du produit dénombrable, il y a une réponse ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Tykhonov