Exercice de topologie sur $\mathbb{R}^2$
Bonsoir et bonne année.
J'ai cet ensemble $$\Omega_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2-2x+2y+2\geq r^2\}, \quad r\geq0
$$ et on définit la topologie $\tau$ sur $\mathbb{R}^2$ par $\emptyset$ et tous les ensembles $\Omega_r$.
D'après l'écriture de $\Omega_r$ je comprends que les ouverts sont le complémentaires des boules de centre $(1,-1)$ et de centre [rayon] $r.$
On nous demande de trouver l'adhérence de $\overline{\{1\}\times\mathbb{Z}}$ et la frontière $Fr(\{(1,-1)\}).$
J'ai trouvé $\overline{\{1\}\times\mathbb{Z}}=\mathbb{R}^2$ et $\overset{\circ}{\overbrace{\{(1,-1)\}}}=\emptyset$ mais je bloque sur $\overline{\{(1,-1)\}}$ je pense que c'est $\{(1,-1)\}$ mais j'ai du mal à montrer ça ?
J'ai cet ensemble $$\Omega_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2-2x+2y+2\geq r^2\}, \quad r\geq0
$$ et on définit la topologie $\tau$ sur $\mathbb{R}^2$ par $\emptyset$ et tous les ensembles $\Omega_r$.
D'après l'écriture de $\Omega_r$ je comprends que les ouverts sont le complémentaires des boules de centre $(1,-1)$ et de centre [rayon] $r.$
On nous demande de trouver l'adhérence de $\overline{\{1\}\times\mathbb{Z}}$ et la frontière $Fr(\{(1,-1)\}).$
J'ai trouvé $\overline{\{1\}\times\mathbb{Z}}=\mathbb{R}^2$ et $\overset{\circ}{\overbrace{\{(1,-1)\}}}=\emptyset$ mais je bloque sur $\overline{\{(1,-1)\}}$ je pense que c'est $\{(1,-1)\}$ mais j'ai du mal à montrer ça ?
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Réponses
Quels sont les fermés contenant (1,-1) ? Quel est le plus petit (par inclusion).
Cordialement.
comme {(1,-1)} est le centre donc c'est l'intersection des fermés, ce qui veut dire que c'est un fermé
merci beaucoup .
S'il vous plait est ce que les deux autres résultats sont correcte ? et est ce que c'est juste de dire que $\mathbb{R}^2=\Omega_0$ ?
Merci infiniment
Cordialement.
NB : Au besoin, si tu bloques sur une étape, reviens la présenter, avec évidemment le reste de la rédaction.
Pour l'intérieur de $\{(1,-1)\},$ il ne contient aucun ouvert.
Pour $\Omega_0=\mathbb{R}^2,$ c'est parce que $(x-1)^2+(y+1)^2\geq 0$ est vérifié pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2.$
"Les fermés sont les boules "ouvertes" de centre (1,-1) et de rayon r "
En fait, les fermés sont les complémentaires des ouverts, donc
* les complémentaires des $\Omega_r$ pour r>0
* le complémentaire de $\Omega_0$ qui n'est pas du même genre que les précédents
* le complémentaire de $\emptyset$
Donc on a les boules "ouvertes" de centre (1,-1) et de rayon r>0, $\mathbb R^2$ et $\emptyset$. En aucun cas, on ne trouve que {(1,-1)} est un fermé.
Très gênant, c'est l'intersection de tous les fermés de la première forme, et ce n'est pas un fermé.
Vu autrement, la réunion des $\Omega_r$ pour r>0, réunion d'ouverts, n'est pas un ouvert !! Donc ta "topologie" n'en est pas une, ton énoncé d'exercice est faux.
Cordialement.
Si je pose $$B_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, (x-1)^2+(y+1)^2<r\}, r\geq0$$ alors les fermés sont $B_r~\text{et}~\mathbb{R}^2$ l'ensemble vide est obtenue par $B_0$ je pense.
Pour la réunion $$\bigcup_{\lambda\in \Lambda} \Omega_{r_{\lambda}}=\Omega_{\sup_{\lambda\in \Lambda}r_{\lambda}}=\Omega_{r'}$$
donc je ne comprends pas votre réponse.
Dans une topologie, oui.
Encore une fois, ton énoncé est faux, ton $\tau$ n'est pas une topologie, la réunion des $\Omega_r$ pour r>0 devrait être un ouvert mais ne l'est pas : C'est $\mathbb R^2-\{(1,-1)\}$ qui n'est aucun des "ouverts" de la définition.
$\{(1,-1)\}$ n'est dans aucun des ouverts ($\Omega_r, r>0$) et ce n'ai pas le seul donc pourquoi ce résultat ?
merci
J'ai l'impression que tu n'as pas encore bien regardé ce qu'est cette supposée topologie ...
$\tau=\{\emptyset,\mathbb R^2,\cup_{r>0}\,\Omega_r\}\cup\{\Omega_r|\, r>0\}$
$\tau$ est-il une topologie (prouve-le) ?
Cordialement.
Selon moi, pour que ce soit cohérent, on peut la comprendre soit comme :
1) $\{\Omega_r\}_{r\ge 0}$ est une base d'ouverts pour la topologie $\tau$,
2) ou bien $\{\Omega_r\}_{r\ge 0}$ sont les fermés pour la topologie $\tau$ (certains définissent la topologie via les fermés au lieu des ouverts).
Soit $(O)_{i\in I}\in \tau$
Si $\forall i\in I, O_i=\emptyset~\text{alors}~ \bigcup_{i\in I}O_i =\emptyset \in \tau $
Si $\exists i_0\in I,O_{i_0}=\mathbb{R}^2 , \bigcup_{i\in I}O_i=\mathbb{R}^2\in\tau$
Si $O_i=\Omega_{r_i}$ alors $ \bigcup_{i\in I} \Omega_{r_i}=\Omega_{\sup\{r_i,i\in I\}}\in \tau$
Si pour $i_0\in I$ on a $O_{i_0}=\bigcup_{r>0}\Omega_r$ on a $\bigcup_{i\in I} O_i=O_{i_0}\in \tau$
C'est juste ?
Il y a un problème dans ton troisième cas. ce n'est pas le sup; et il manque une quantification.
Tu aurais intérêt à bien organiser ta preuve, en donnant des notations, en particulier à l'union d'ouverts que tu examines et à $\cup_{r>0}\,\Omega_r$. Puis procéder par dichotomies successives (si ... sinon ...).
Le Lui ou un Autre :
Classiquement, une topologie est l'ensemble des ouverts.
Même si on peut définir les espaces topologiques par leurs fermés, ou leurs voisinages, ou autres.
Cordialement.
Si $\forall i\in I, \bigcup_{i\in I} \Omega_{r_i}=\Omega_{\min\{r_i,i\in I\}}\in \tau$
Sinon je n'ai pas compris votre remarque :
"en donnant des notations, en particulier à l'union d'ouverts que tu examines et à $\cup_{r>0}\Omega_r$ Puis procéder par dichotomies successives (si ... sinon ...)."
Merci
Je n'ai pas compris comment appliquer votre suggestion.
La preuve se fait avec tous les cas.