indiscernabilité des éléments d'un ensemble

bastringue
bastringue
dans Topologie
Bonjour,

Je préfère vous prévenir : je ne suis pas mathématicien.... mais je me soigne ;-) (merci d'avance)

Je m'intéresse à la topologie et plus précisément à la construction progressive de son cadre conceptuel à partir de la théorie ensembliste, et je tombe sur une difficulté au niveau de la notion d'indiscernabilité des éléments d'un ensemble.

- Au stade ensembliste, on ne peut que discerner par nommage des éléments qui sont a priori indiscernables ; il s'agit d'individuation.
- Au niveau d'un espace topologique (E,O), deux élements x et y sont séparés au sens de la topologie O si deux de ses ouverts disjoints U et V contiennent x et pas y (respectivement : y et pas x). Dans le cas contraire, x et y sont topologiquement confondus.

Jusque là, j'ai l'impression que tout va bien...:-)

Mais si 2 éléments d'un ensemble ne sont effectivement discernables que s'ils sont nommés, ça veut dire que l'écriture de l'égalité de 2 élements sous la forme x=y est fausse dans le formalisme ensembliste. De la même façon, toute fonction portant par exemple sur 2 éléments de ExE dans R ne peut être que symétrique en x et y puisque les éléments ne sont discernables que par leur nom et que ceux-ci sont interchangeables.

Mais alors, quand on définit la distance sur un ensemble comme toute application qui associe un nombre d(x,y) à tout couple d'éléments (x,y) de l'ensemble E et qui vérifie :
  1. d(x,y) =< d(x,z)+d(z,y)
  2. d(x,y) = d(y,x)
  3. d(x,x) = 0
  4. d(x,y) = 0 => x=y
On ne devrait pas pouvoir écrire la 4° propriété et on ne devrait parler que de semi-distance, i.e uniquement les 3 premières propriétés dont la 2° est d'ailleurs toujours vraie.
En revanche, si l'ensemble était déjà doté d'une topologie, on pourrait dire que si d(x,y) =0 alors x et y sont confondus toplogiquement (et non 'égaux').
Pouvez vous m'aider à rectifier le raisonnement svp ?
Merci pour votre aide.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quel raisonnement ?
    Au stade ensembliste, on ne peut que discerner par nommage des éléments qui sont a priori indiscernables ; il s'agit d'individuation.
    Je ne vois pas de mathématique ici.
    les 3 premières propriétés dont la 2° est d'ailleurs toujours vraie.
    Ah bon ... Pourquoi toujours vraie ?
  • bastringue
    bastringue
    Merci Gabuzomeu...
    je dis 'toujours vraie' en raison de ce que j'ai posé (et qui peut-être faux) à savoir qu'on peut interchanger les éléments x et y dans toute fonction f(x,y) qui porte sur des éléments indiscernables d'un ensemble et qui ne sont discernés que par leur nom qui est interchangeable.
    Evidemment, si x et y étaient des éléments discernables, comme par exemple des éléments d'un ensemble ordonné, on n'aurait pas systématiquement f(x,y)=f(y,x), évidemment...
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Quel est la définition mathématique de « indiscernable » ?
  • bastringue
    bastringue
    Merci pour cette question gb qui me fait avancer...Je constate qu'effectivement, ça me contraint à poser que deux éléments sont indiscernables si justement toute fonction de ExE dans R et qui à un couple (x,y) associe f(x,y) est symétrique...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ta définition ne tient pas la route, tu devrais te clarifier les idées et faire vraiment des maths. Là, c'est plutôt vaseux.
    Revenons à la topologie.
    Au niveau d'un espace topologique (E,O), deux éléments x et y sont séparés au sens de la topologie O si deux de ses ouverts disjoints U et V contiennent x et pas y (respectivement : y et pas x). Dans le cas contraire, x et y sont topologiquement confondus.
    C'est une définition que tu poses ? Elle ne me semble alors pas très pertinente. On peut par exemple avoir des points $x$ et $y$ tels que tout ouvert contenant $x$ contient $y$, mais qu'il existe un ouvert contenant $y$ et pas $x$. La topologie "voit" la différence entre les deux points.
  • bastringue
    bastringue
    @gabuzomeu : je cherche effectivement à clarifier ma pensée et à formuler des choses qui "tiennent la route", c'est pour ça que je demande l'aide de ceux qui veulent bien me l'apporter, d'ailleurs...

    La définition que j'ai écrite de la séparation vient de https://www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=1121 et si tu lis mieux ce que j'ai écrit, tu verras qu'on est d'accord sur ce que tu dis, à savoir que dès qu'on peut trouver un ouvert qui contient l'un des éléments et pas l'autre, la topologie "voit" (comme tu dis) la différence entre les 2 points.

    Le cours en référence le dit ainsi : "L'espace topologique (X,0) est dit séparé si, pour tous x différent de y dans X, il existe des ouverts disjoints U et V contenant respectivement x et y."

    Grâce à GB, j'ai vu qu'il me fallait définir la notion d'indiscernabilité et je ne vois pas ce qui n'est pas clair quand on écrit : "on dit que les éléments d'un ensemble E sont indiscernables ssi toute fonction de ExE dans R qui à (x,y) fait correspondre f(x,y) est symétrique" (merci de m'indiquer ce qui est vaseux). En tous les cas, il m'a permis de comprendre qu'en ajoutant cette notion d'indiscernabilité sur les éléments d'un ensemble, je ne faisais que reformuler différemment la même définition de la distance que celle de référence, ce qui pour moi fait que ce post est résolu...

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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Mais dans ce cas-là l'indiscernabilité revient à l'égalité (en tout cas dans l'axiomatique usuelle, et toute axiomatique "raisonnable" de la théorie des ensembles)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    "on dit que les éléments d'un ensemble E sont indiscernables ssi toute fonction de ExE dans R qui à (x,y) fait correspondre f(x,y) est symétrique"
    Désolé, mais ça ne fait pas sens. Qu'est ce que ça veut dire ?

    Et en ce qui concerne la topologie, c'est toi qui n'a pas bien lu ce que j'ai écrit ... La topologie peut voir deux points distincts sans qu'ils soient séparés au sens de "contenus respectivement dans deux ouverts disjoints".
  • bastringue
    bastringue
    @Maxtimax :

    Oui Maxtimax, l'indiscernabilité de 2 éléments ramène effectivement à l'égalité...

    C'est juste le mot 'égalité' qui a créé chez moi une confusion de langage :
    Les éléments de l'ensemble n'ont pas de valeur intrinsèque ni aucune autre caractéristique propre, et donc, quand on dit 'x=y', il vaudrait mieux comprendre cette égalité, non pas comme le fait que la valeur de x est égale à la valeur de y (ils n'en ont pas !) mais plutôt comme l'affirmation qu'ils sont confondus : les deux noms 'x' et 'y' désignent un unique élément. Une fois rétablie cette confusion, j'ai pu lever le doute que j'avais initialement....merci pour ton apport.
  • reuns
    reuns
    A mon avis ta question concerne le paradoxe du définissable en maths.

    Poser les axiomes des suites $\mathbb{N} \to \{0,1\}$, des nombres réels, ou des ensembles, sans se soucier de ce qui est définissable ou pas, ça marche très bien et c'est ce qu'on fait dans ZFC ou dans n'importe quelle théorie.
    Les formules et les théorèmes de ZFC sont énumérables et ne sont après tout que des chaînes de caractères. Leur associer des suites ou des ensembles "concrets" c'est une interprétation de ces chaînes de caractères, et dans cette interprétation, pour une raison de cardinalité, il "existe" des tas de suites non définissables. Dans la même idée demander si $x = y$ n'est pas toujours bien défini, car $x$ peut-être égal à $y$ sans qu'il n'en existe de preuve.
    Les paradoxes sur le définissable (qui traduisent le fait que le définissable est mal défini) ne concernent donc que la théorie dans laquelle tu te places pour interpréter ces chaînes de caractères et pas ZFC en elle-même.

    Pour manipuler uniquement les suites de $0,1$ définissables, tu peux essayer des choses du style : travailler avec une formule qui définit $(a_n)$ plus une preuve que la formule ne définit qu'une et une seule suite $(a_n)$. Mais ça sera beaucoup plus compliqué que de poser les axiomes de comment doivent se comporter les suites de $0,1$ en général, et tu auras plein de paradoxes quand tu essayeras de quantifier sur l'ensemble des suites définissables.
  • bastringue
    bastringue
    @reuns : merci pour ta réponse Reuns, elle m'ouvre un champ de lecture apparemment très vaste (de ce que j'ai déjà pu voir rapidement).
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