Déterminer les isométries d'un EVN

midipy · January 2018

Bonjour à tous,

Je bloque sur l'exercice suivant :
Déterminer toutes les isométries de $\R^n$ muni de la distance $d_p$ induite par la norme $N_p((x_1,...,x_n)) =( \sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{1/p}$.
Sachant que l'étude des isométries pour la distance euclidienne sur $\R^3$ est déjà assez vaste je ne vois pas par ou commencer dans le cas général.
Il me semble par ailleurs qu'une isométrie est nécessairement linéaire pour une norme issue d'un produit scalaire, mais en fonction de l'entier $p$, je ne pense pas que ma norme soit toujours issue d'un produit scalaire.

En bref, je suis à la recherche de pistes pour aborder cet exercice !

Merci d'avance.

Poirot · January 2018

Bonjour, ce document pourrait peut-être t'aider, je ne connais pas la réponse dans ton cas (a priori plus simple) : https://perso.univ-rennes1.fr/bachir.bekka/Isometries-Lp.pdf

P. · January 2018

Tu commences par $n=2$ et tu dessines les differentes boules unite. Tu vas vite realiser que le cas $p=2$ est exceptionnel de richesse. Le reste est tartignole (juste les matrices de permutations sont les matrices d'isometries possibles si $p\neq 2)$ avec entrees $\pm 1$ tout de meme.

Algèbre · January 2018

Salut, je crois que c'est juste l'ensemble des matrices de permutations pour $n \neq 2$ et connu sinon.

Ah je me disais que je l'avais déjà vu : isométrie.

[Inutile d'écrire, comme toujours, deux messages au lieu d'un seul. Poirot]

Déterminer les isométries d'un EVN

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 9