Ensemble parfait / Poincaré-Bendixson
Bonjour,
dans une preuve "ensembliste" du Th de Poincaré-Bendixson (preuve que je suis loin d'avoir comprise visiblement), l'auteur prend en exemple "$\N$ est un ensemble parfait"...
Il me semble que c'est en tant que sous-ensemble de $\R$ dans le contexte.
Définition: un ensemble $A\subset\Omega$ est dit parfait s'il n'a pas de point isolé.
Bon, là je crois que je deviens con avec l'âge mais dans le style $\N$ est constitué d'un GROS PAQUET de points isolés ?
(ou alors il y aune condition de cardinalité que je ne vois pas dans mes sources)
Avant d'embêter l'auteur, je vous embête vous :-)
Merci d'avance des éclaircissements que vous pourrez me proposer,
Amicalement,
F.D.
PS: dans le contexte:
..."$\delta^{\omega}G\text{ est }\N$ qui est parfait." Il me semble que ce passage se suffit à lui seul? pour plus de précisions, "Théorie des ensembles", P. Dehornoy, pp 78-79 (où il établit que HC est vraie pour les fermés de $\R$)
dans une preuve "ensembliste" du Th de Poincaré-Bendixson (preuve que je suis loin d'avoir comprise visiblement), l'auteur prend en exemple "$\N$ est un ensemble parfait"...
Il me semble que c'est en tant que sous-ensemble de $\R$ dans le contexte.
Définition: un ensemble $A\subset\Omega$ est dit parfait s'il n'a pas de point isolé.
Bon, là je crois que je deviens con avec l'âge mais dans le style $\N$ est constitué d'un GROS PAQUET de points isolés ?
(ou alors il y aune condition de cardinalité que je ne vois pas dans mes sources)
Avant d'embêter l'auteur, je vous embête vous :-)
Merci d'avance des éclaircissements que vous pourrez me proposer,
Amicalement,
F.D.
PS: dans le contexte:
..."$\delta^{\omega}G\text{ est }\N$ qui est parfait." Il me semble que ce passage se suffit à lui seul? pour plus de précisions, "Théorie des ensembles", P. Dehornoy, pp 78-79 (où il établit que HC est vraie pour les fermés de $\R$)
Réponses
-
Es-tu sûr que ce n'est pas "a la propriété de l'ensemble parfait" ?
-
Bonsoir,
Puis-je faire remarquer que ma dernière question a provoqué 103 réponses dont moins de 5 concernant le propos de base? je vois que le livre de P. Dehornoy a suscité un grand intérêt et ça me fait plaisir!
Question: dans les exemples suivant la démonstration du Théorème de Poincaré-Bendixson par induction ordinale (pp 78 - 79), Patrick Dehornoy veut montrer que l'ordinal associé à un fermé peut atteindre $\omega$ et son exemple se conclut par ..."$\delta^{\omega}G=\N$ qui est parfait."
Ok, j'ai posé la question en topologie sur le forum, je l'ai soumise à un collègue très compétent et il m'a fait remarqué que ça paraissait bizarre.
Alors $\N$ serait parfait???
Avant que j'embête directement l'auteur, pensez-vous qu'il puisse y avoir une erreur?
Merci d'avance,
amicalement,
F.D.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. Si tu veux changer de rubrique, signale le et on fera le transfert. AD] -
Salut, j'ai la flemme d'aller télécharger le livre sur mes sites illégaux(je plaisante à moitié.). Mais t'es sur que la topologie sur $\mathbb{N}$ est celle induite par $\mathbb{R}$(la discrète.). ? Ou alors il a oublié un ne pas(les erreurs arrivent même au plus grand on est humain.).
-
Bonsoir,
non non il est bien "parfait" écrit et non "qui a la propriété des ensembles parfaits"...
Je pense qu'il faut peut-être entendre ce que tu proposes. (sinon est-ce que $\delta^{\omega+1}=\emptyset$ donne le résultat escompté?)
Merci en tout cas
F.D. -
(Merci A.D. j'avais peur que cette question ne réveille aucun topologue :-) )
-
Ivar Bendixson (1861-1935)
-
@ Algèbre
On n'est jamais trop beau. -
Peut-être est-ce qu'il faut aller un pas plus loin...
$G$ est un fermé de $\R$ dans son exemple ? -
Bendixson (bis)
-
(malheureusement renversé par une voiture en octobre 2008 :-( )
F.D. -
Bonsoir,
@Chaurien merci de la remarque et pour l'oubli du "s" dans le titre, mes excuses!
@Matimax: oui G est une vilaine bête et je crois avoir le truc:
(sic)
$F_p=\{0\}\cup\{\Sigma_{r\leq q}2^{-n_1-n_2-\dots-n_r}|1\leq q\leq p\text{ et }n_1,\dots,n_r\geq 1\}$ [...]
$G=\bigcup_{p\geq 1}(p+F_p)$ [...]
on vérifie facilement que $G$ est fermé, que $\partial^{p+1}G$ est distinct de $\partial^pG$ pour tout $p$ mais que $\partial^{\omega}G=\N$ qui est parfait.
(fin sic)
On a donc le plus petit ordinal $\alpha$ tel que $\partial^{\alpha}G=\partial^{\alpha+1}G$ qui est $\omega$. (on le note ici $\theta(G)$)
J'aurais pensé que $\partial\N=\emptyset$ et donc que $\theta(G)=\omega+1$???
Merci de l'attention portée à ma question
F.D. -
Si par $\partial X$ tu entends "l'ensemble dérivé" (en général plutôt noté $X'$ il me semble en topologie, alors que $\partial X$ représente la frontière en général; les conventions sont peut-être différentes en théorie des ensembles), alors $\partial \N = \emptyset$ dans $\R$, ça oui. Peut-être que par "atteindre $\omega$", Dehornoy voulait dire "être plus grand ou égal" ? Mais dans ce cas la citation "qui est parfait" est étrange
-
Ok merci beaucoup Matimax, ça correspond bien à ce que je pensais.
sinon $\partial X$ est l'ensemble des points d'accumulation de $X$ on cherche donc $\partial X=X$ pour avoir un ensemble parfait.
J'en déduis que c'est peut-être plus la dénombrabilité de $\N$ qui nous sauve la mise (il a donc la "propriété du parfait").
Merci encore
je vais signaler le souci à l'auteur
Amicalement,
F.D.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 6
+5 Invités