L'image d'une partie connexe

Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\).

On suppose \(f\) continue et \(E\) connexe, et on veut prouver que \(f(E)\) est connexe : il faut donc une topologie sur \(f(E)\) ; laquelle ? la topologie induite par celle de \(F\).

abdolahbd a écrit:

f(E)=A U B tq A et B sont deux ouverts disjoints.

A et B sont des ouverts de F ou de f(E) ?

Si \(A\) et \(B\) sont des ouverts de \(E\), alors \(f(E)=A \cup B\) est aussi un ouvert. Tiens donc !! depuis quand ??

Si \(A\) et \(B\) sont des ouverts de \(f(E)\), c'est que tu fais appel à la topologie induite… sans même t'en rendre compte.

abdolahbd a écrit:

A et B sont des ouverts de f(E) donc des ouverts de F ou non ?

Les intervalles \([0,1[\) et \(]0,1]\) sont des ouverts de \([0,1]\), donc ce sont des ouverts de \(\mathbf{R}\) ou non ?

Sais-tu que, pour la topologie usuelle, [0,1] :

- est un fermé de $\mathbb R$ ?
- n'est pas un ouvert de $\mathbb R$ ?
- est un fermé de [0,1] ?
- est un ouvert de [0,1] ?

C'est encore cette histoire de topologie induite. C'est une définition. Ce n'est qu'une définition.

Je crois savoir ce qui gêne :
Peux-tu énoncer en détail le théorème que tu souhaites démontrer ?

Je vais essayer d'être clair sur la question.

L'application \(f\) est continue de \(E\) dans \(F\), ce qui est caractérisé par le fait que, pour tout ouvert \(U\) de \(F\), \(f^{-1}(U)\) est un ouvert (de \(E\)).

Si l'on considère la co-restriction \(\hat{f}\) de \(f\), qui est une application surjective de \(E\) dans \(f(E)\), sa continuité est caractérisée par le fait que, pour tout ouvert \(U'\) de \(f(E)\), \(\hat{f}\vphantom{f}^{-1}(U')\) est un ouvert (de \(E\)).

Le truc, c'est que « \(U'\) ouvert de \(f(E)\) », c'est, par définition de la topologie induite : « \(U'=U\cap f(E)\) où \(U\) est un onvert de \(F\)».

Il faut alors réaliser que, du fait que \(U'\) est contenu dans \(f(E)\) :
\[f^{-1}(U) = f^{-1}(U\cap f(E)) = f^{-1}(U') = \hat{f}\vphantom{f}^{-1}(U').\]

Donc pour la continuité, travailler dans \(F\) avec la topologie de \(F\), ou se restreindre à \(f(E)\) avec la topologie induite, c'est une simple question de confort, et on ne s'enquiquine généralement pas à faire intervenir l'application \(\hat{f}\) et la topologie induite sur \(f(E)\).

Mais la connexité de \(f(E)\), c'est une propriété de \(f(E)\), qui concerne la topologie de \(f(E)\) : on est obligé d'utiliser la topologie induite de \(f(E)\). Du coup, ton raisonnement en utilisant les images réciproques d'ouverts fonctionne, à condition d'utiliser les ouverts de \(f(E)\) pour la topologie induite (type \(U'\) précédent) et de considérer leurs images récipropques par \(\hat{f}\), ou de les remonter dans \(F\), en introduisant une intersection (type \(U\) précédent) et de considérer leurs images récipropques par \(f\).

Définition de Bourbaki : On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble connexe, si le sous-espace A de X est connexe.

En dernier recours, les propriétés du sous-espace A de X sont bien évidemment déterminées par la topologie de X, et on peut toujours se passer d'utiliser explicitement la topologie induite dans la pratique, mais sa présence sous-jacente est obligatoire. Par contre, pour la continuité, le choix entre la topologie de \(F\) et celle de \(f(E)\) est lié au choix de l'outil de travail : \(f\) ou \(\hat f\) (avec mes notations précédentes).

Par ailleurs, dans ce message,abdolahbd écrit :

abdolahbd a écrit:

f(E)=A U B tq A et B sont deux ouverts disjoints

et exprime donc expliciement la connexité de \(f(E)\) avec la topologie du sous-espace de \(F\), alors qu'il parle de la continuité de \(f\) exprimée avec la topologie de l'espacce \(F\).