Boule unité et norme
Bonsoir,
En travaillant des exercices sur les espaces vectoriels normés, je me trouve bloqué face à un exercice qui porte sur la convexité d'un ensemble et une condition nécessaire et suffisant d'une application. J'espère que vous pourrez m'aider afin de mieux comprendre cet exercice, et de pouvoir acquérir ce qu'il me manquait afin de le résoudre.
Soit E un espace vectoriel et $N : E \rightarrow R_{+}$ vérifiant pour tout $(x,y)$$\in$$E^{2}$ et tout $\lambda$$\in$$R$ , $N(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ et $N(\lambda x)= \mid \lambda \mid N(x)$.
1) Il est demandé de montrer que N est une norme si et seulement si $B=${${{ x\in E, N(x)\leq 1}}$} est convexe.
2) Puis on suppose cette fois qu'on a de plus $N(x+y)^{2}\leq 2(N(x)^{2}+N(y)^{2})$ pour tout $(x,y)\in E^{2}$, et il nous est demandé de montrer que N est une norme.
Je suis arrivé à faire la première question, mais pour la deuxième je bloque. Je donne jusqu'à quel étape je suis arrivé : Il est bien clair qu'il faut montrer que B est convexe.
Soient $t\in [0,1]$ et $x,y\in B$ , après développement de l'inégalité donné comme hypothèse on trouve : $ N(tx + (1-t)y)^{2}\leq 2-4t(1-t)$ , si on pose $z=tx+(1-t)y$ on a bien $N(z)\leq 1$ pour $t=1/2$, on peut donc dire que B est stable par passage au milieu, et on peut se limiter donc à $t\in [0,\frac{1}{2}]$. Si on passe fais un petit schèma, avec x et y comme extrémités d'un segment et z au milieu, on voit bien qu'après une infinité de passages au milieu, on aura "remplit" le segment avec des points qui appartiennent à B. C'est de là que me vient l'idée d'écrire t comme rationnel dyadique de la forme : $t=\frac{m}{2^{n}}$ avec $0\leq m\leq 2^{n}$ et $m\in N$ et $n\in N$ . Montrons qu'on a bien le résultat pour cette forme de t. Pour n=0 c'est trivial car on a t=0 ou t=1. Soit $n\in N$ , on suppose que si x et y appartiennent à B, et $z=tx+(1-t)y$ où $t=\frac{m}{2^{n}}$ avec $0\leq m\leq 2^{n}$ et $m\in N$ alors z appartient à B.
Pour $t=\frac{p}{2^{n+1}}$ avec p entre 0 et $2^{n+1}$ , pour p=0 ou $p=2^{n+1}$ ceci est trivial car t=0 ou 1. On écrit : $z=\frac{p}{2^{n+1}}x+(1-\frac{p}{2^{n+1}})y=\frac{1}{2}(\frac{p}{2^{n}}x+(1-\frac{p}{2^{n}})y+y)=\frac{1}{2}z'+\frac{1}{2}y$ où $z'=\frac{p}{2^{n}}x+(1-\frac{p}{2^{n}})y$ qui appartient à B selon l'hypothèse de récurrence et y appartient à B, donc leur milieu qui est z appartient à B. Ce qu'il fallait démontrer. Après je devrai peut être utilisé la densité de ces rationnels dans [0,1] mais je ne vois pas trop comment faire, car l'utilisation de suites demandrait après la continuité mais je n'ai pas cette hypothèse sur l'application N.
Je n'arrive pas à avancer plus loin, j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance
En travaillant des exercices sur les espaces vectoriels normés, je me trouve bloqué face à un exercice qui porte sur la convexité d'un ensemble et une condition nécessaire et suffisant d'une application. J'espère que vous pourrez m'aider afin de mieux comprendre cet exercice, et de pouvoir acquérir ce qu'il me manquait afin de le résoudre.
Soit E un espace vectoriel et $N : E \rightarrow R_{+}$ vérifiant pour tout $(x,y)$$\in$$E^{2}$ et tout $\lambda$$\in$$R$ , $N(x)=0 \Leftrightarrow x=0$ et $N(\lambda x)= \mid \lambda \mid N(x)$.
1) Il est demandé de montrer que N est une norme si et seulement si $B=${${{ x\in E, N(x)\leq 1}}$} est convexe.
2) Puis on suppose cette fois qu'on a de plus $N(x+y)^{2}\leq 2(N(x)^{2}+N(y)^{2})$ pour tout $(x,y)\in E^{2}$, et il nous est demandé de montrer que N est une norme.
Je suis arrivé à faire la première question, mais pour la deuxième je bloque. Je donne jusqu'à quel étape je suis arrivé : Il est bien clair qu'il faut montrer que B est convexe.
Soient $t\in [0,1]$ et $x,y\in B$ , après développement de l'inégalité donné comme hypothèse on trouve : $ N(tx + (1-t)y)^{2}\leq 2-4t(1-t)$ , si on pose $z=tx+(1-t)y$ on a bien $N(z)\leq 1$ pour $t=1/2$, on peut donc dire que B est stable par passage au milieu, et on peut se limiter donc à $t\in [0,\frac{1}{2}]$. Si on passe fais un petit schèma, avec x et y comme extrémités d'un segment et z au milieu, on voit bien qu'après une infinité de passages au milieu, on aura "remplit" le segment avec des points qui appartiennent à B. C'est de là que me vient l'idée d'écrire t comme rationnel dyadique de la forme : $t=\frac{m}{2^{n}}$ avec $0\leq m\leq 2^{n}$ et $m\in N$ et $n\in N$ . Montrons qu'on a bien le résultat pour cette forme de t. Pour n=0 c'est trivial car on a t=0 ou t=1. Soit $n\in N$ , on suppose que si x et y appartiennent à B, et $z=tx+(1-t)y$ où $t=\frac{m}{2^{n}}$ avec $0\leq m\leq 2^{n}$ et $m\in N$ alors z appartient à B.
Pour $t=\frac{p}{2^{n+1}}$ avec p entre 0 et $2^{n+1}$ , pour p=0 ou $p=2^{n+1}$ ceci est trivial car t=0 ou 1. On écrit : $z=\frac{p}{2^{n+1}}x+(1-\frac{p}{2^{n+1}})y=\frac{1}{2}(\frac{p}{2^{n}}x+(1-\frac{p}{2^{n}})y+y)=\frac{1}{2}z'+\frac{1}{2}y$ où $z'=\frac{p}{2^{n}}x+(1-\frac{p}{2^{n}})y$ qui appartient à B selon l'hypothèse de récurrence et y appartient à B, donc leur milieu qui est z appartient à B. Ce qu'il fallait démontrer. Après je devrai peut être utilisé la densité de ces rationnels dans [0,1] mais je ne vois pas trop comment faire, car l'utilisation de suites demandrait après la continuité mais je n'ai pas cette hypothèse sur l'application N.
Je n'arrive pas à avancer plus loin, j'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance
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Réponses
Bonjour,
Je pense m'en sortir sans utiliser la convexité de B.
Voilà comment :
$\frac{N(x+y)}{N(x)+N(y)} \leq \sqrt{2} \frac{\sqrt{N(x)^2+N(y)^2}}{N(x)+N(y)}$
On pose alors pour $s,t >0 f(s,t) =\sqrt{2} \frac{\sqrt{s^2+t^2}}{s+t}$ on veut montrer que $f(s,t) \leq 1 \forall s,t > 0$
Passons en coordonnées polaires on a alors $s=r\cos(\theta), t=r\sin(\theta) $ $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$
Alors $f(s,t)=\frac{\sqrt{2}}{\cos(\theta)+\sin(\theta)}=\frac{1}{\cos(\theta -\frac{\pi}{4})}\leq 1$
::o
Alors $\forall x,y \neq 0 N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ les cas $x=0$ ou $y=0$ étant évidents.
[small]Ces dix minutes de Latex sont pour toi MathCos [/small]
Edit : certes, mais ça n'avance à rien. Désolé !
Or ce qui est vrai, c'est cette inégalité dans l'autre sens.
Cela a l'air bigrement difficile, et j'aimerais bien connaître l'origine de cet exercice et son énoncé précis.
Comment éclater à toutes les valeurs de $t \in [0,1]$ ? Pour parler de continuité de la fonction $N$ il faut qu'il y ait une topologie sur $E$. Tout ce qu'on sait de $E$ c'est que c'est un « espace vectoriel », on présume que c'est un $\mathbb R$-espace vectoriel. S'il est de dimension finie, on peut le munir d'une norme $||...||$, et elles sont toutes équivalentes. C'est peut-être dans l'hypothèse, c'est pourquoi j'ai demandé l'énoncé exact : les erreurs de transmission sont fréquentes.
Sinon, on pourrait noter que ce qui est en question c'est la continuité de l'application $t \mapsto N(tx+(1-t)y)$, de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, qui pourrait peut-être se prouver sans continuité de $N$.
Bref, on sèche...
Bonne journée.
Fr. Ch.
L'exercice est un oral posé à l'école Polytechnique. L'énoncé précis est :
Soit $E$ un espace vectoriel réel et $N:E\rightarrow R_{+}$ vérifiant pour tout $(x,y)\in E^{2}$ et tout $\lambda \in R$, $N(x)=0\Leftrightarrow x=0$ et $N(\lambda x)=\mid \lambda \mid N(x)$.
1) Montrer que $N$ est une norme si, et seulement si, l'ensemble $B=${$x\in E,N(x)\leq 1$} est convexe.
2) On suppose que $N(x+y)^{2}\leq 2(N(x)^{2}+N(y)^{2})$ pour tout coupe $(x,y)\in E^{2}$ . Montrer que N est une norme.
Il est à présumer que c'est un espace vectoriel sur $\mathbb R$, sinon on ne voit pas comment parler de convexes. Ensuite, il y a la question de la dimension, qui peut-être n'a pas d'importance mais ça on le saura à la fin.
Pardon d'insister lourdement : est-ce un énoncé rapporté oralement par un candidat qui l'a eu à son oral, ou bien est-il écrit quelque part ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Je m'excuse d'abord d'avoir mal rapporté l'énoncé dans mon premier message, j'avais négligé le corps de base, car dans le cours on parle bien de convexité quelque soit le corps de base, la définition fut général il suffit que tout segment soit inclus dans l'ensemble.
J'ai trouvé l'exercice dans un livre d'oraux.
On ne peut parler de convexité quel que soit le corps de base, puisque la définition est une inégalité, ce qui exclut les corps non ordonnés. Il me semble que cette question est généralement étudiée dans un $\mathbb R $-espace vectoriel ou affine.
Peux-tu préciser le livre d'où vient cet énoncé ? Merci.
Le livre en question est appelé Oraux X-ENS de l'édition Cassini.
Ah non c'est l'exo p.6...
Un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel \(E\) est muni d'une structure sous-jacente de \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel, qui est implicitement utilisée pour parler de convexité dans \(E\).
Francinou, Gianella, Nicolas, Exercices de mathématiques. Oraux X-ENS. Analyse 3, Cassini, 2014,
oui ou non ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Oui, c'est bien la source de l'exercice.
Je laisse ce dessin, mais comme le remarque GaBuZoMeu au post suivant, c'est incompréhensible et probablement faux. Je lifté ça aux posts qui suivent celui de GaBuZoMeu.
[size=x-large]
Bonne continuation
edit:
[size=x-small]Sans perte de généralité, on peut supposer qu'on est en dimension 2 car il suffit de prouver que la restriction de $N$ à tout plan vectoriel est une norme. Le travail déjà fait par polvano permet de se concentrer sur la continuité de $N$. Il suffit, d'après (1) de prouver que $B_1$ est connexe.
Soient $u,v$ deux vecteurs dans $B_1$ et $w$ un vecteur du segment $[uv]$ qui lui n'y est pas. Soit $r$ un vecteur de $[uv]$ (que l'on imagine assez proche de $w$ pour l'intuition), et $a$ un nombre tel que $N(w) = \frac{2a+1}{2a} \times N(r)$. En considérant $0.5r$ et le vecteur $z$ colinéaire à $w$ tel que $N(0.5r)=N(z)$, et quitte à les renormer, on obtient deux vecteurs $s,t$, tous deux presque aussi proches l'un de l'autre et tous deux sur $[uv]$ tels que
$$N(s)=\frac{a+1}{a} \times N(t)$$
Tout ceci pour dire que l'ensemble des nombres $x>0$, tels que pour tout $e>0$, il existe deux vecteurs $c,d$ de $[uv]$ à distance euclidienne $<e$ l'un de l'autre, qui vérifie $N(c)/N(d)=x$ n'est pas borné.
L'hypothèse de l'exercice entraine de son côté qu'il existe $q>0$ tel que l'ensemble des nombres $e>0$ tels qu'il existe un vecteur $\varepsilon$ colinéaire à $v-u$, vérifiant $normeeuclidienne(\varepsilon)<e$ et $N(\varepsilon)>q$ contient $0$ dans son adhérence. On obtient la contradiction que $N(v-u)$ majore tout nombre réel.[/size]
> En considérant $0.5r$ et le vecteur $z$ colinéaire à $w$ tel que $N(0.5r)=N(z)$, et
> quitte à les renormer, on obtient deux vecteurs $s,t$, tous deux presque aussi proches
> l'un de l'autre et tous deux sur $[uv]$ tels que
$$N(s)=\frac{a+1}{a} \times N(t)$$
Si quelqu'un y comprend quelque chose, j'aimerais qu'il ou elle me l'explique. Qui sont $s$ et $t$ ???
Merci d'avance.
Avertissement: avant de lire l'argumentaire suivant, artisanal car répondu à la volée à ta demande de précisions, vas voir le résumé violet du post suivant. Tu n'auras peut-être pas besoin de revenir ce qui suit.
tu peux oublier mon dessin, je crois que j'ai mélangé plusieurs idées, mais j'étais tellement contente de l'avoir fait... De même que l'argumentation qui prétend en décoder la signification. Je sais que j'y ai pensé donc que je n'ai normalement pas pu commettre la faute, mais tout laisse à penser que je l'ai commise quand-même quand je me relis, du moins je ne retrouve pas mes petits (une confusion entre $a$ et $a+0.5$ que je ne voulais surtout pas risquer et que j'ai pourtant, au moins semble-t-il, commise en beauté).
Ne pouvant dessiner, je te donne une preuve (enfin un morceau, car tu as déjà fait l'essentiel) beaucoup plus simple et c'est peut-être elle que j'aurais dû dessiner.
Tu as 3 points $O,A,B$ , dont l'origine $O$ fait partie. Je note $N(X)$ aussi le nombre $N(\overrightarrow{OX})$ et $B_1$ l'ensemble de ceux tels que $N(X)\leq 1$. Tu as $N(A)$ et $N(B)$ qui sont dans $[0,1]$, tu as déjà prouvé qu'un ensemble dense de points de $[AB]$ se trouve dans $B_1$, mais tu voudrais qu'ils s'y trouvent tous.
Soit donc un point $C$ de ce segment qui n'est pas dans $B_1$. Soit un point $D$ "dyadique" (donc dans $B_1$) très proche de $C$ sur le segment $[AB]$ et qui est du même côté que $A$ de $C$. Si tu fais parcourir au point $Y$ le segment $[OA]$, entièrement inclus dans $B_1$, il y a un endroit, et cet endroit est très proche de $A$ où le point $E$ d'intersection du segment $[YB]$ avec le segment $[CO]$ est "dyadique" (tout simplement parce que $BD/BA = BE/BY$). Tu as donc $E$ qui est dans $B_1$ alors que pourtant $N(\overrightarrow{CE})$ est très petite devant $N(\overrightarrow{CO})$.
La conclusion de ça est que $N(C)$ est vraiment très très grand (l'hypothèse demande que de toute façon $N(C)$ soit majoré par $\sqrt{2}$). La mise en forme définitive d'une preuve est alors a priori facile, sauf si j'ai une fois de plus fait une erreur. (Ce qui n'est pas du tout, mais pas du tout exclus).
Edition: polVano, t'ayant répondu à la volée, l'argument est pour le moins artisanal, donc, je te le résume de manière un peu distante mais très simple: en gardant les notations du post, il y a beaucoup de points de $B_1$, en l'occurrence tous ceux qui se trouvent sur au moins un segment parallèle à $[OA]$ dont une des extrémités $X$ se trouve sur $[AB]$ et l'autre sur $[OB]$ et qui sont tels que le rapport $AX/AB$ est dyadique. Or les points du segment $[OC]$ qui se trouvent sur un des ces segments au moins forment un ensemble dense du segment $[OC]$, ce qui force $C$ à être dans $B_1$.
Dit comme ça, c'est plus "je ne mets pas les mains dans la mélasse", mais si tu es à l'aise avec la densité, ça me parait rendre l'exercice évident (et de plus montrer que l'hypothèse ne sert qu'à donner la stabilité par milieux)
oui et non. J'ai donné une preuve (je le signale parce qu'il n'est pas évident que celles et ceux qui liront en diagonale sachent que c'est une solution que je proposais vu qu'une grosse partie avait été faite avant par polvano).
Je ne comprends pas ce que tu entends par midconvexite bornée. Ici nous avons quand-même la multiplicativité.
Soit $B=\{x\in E,N(x)\leq 1\}$.
On montre par récurrence (comme l'a fait PolVano) que $$\forall n\in\mathbb{N}, \forall (x,y)\in B^2, \forall p \in \mathbb{N}, 0\leq p \leq 2^n \Rightarrow \frac{p}{2^n}x+\left(1-\frac{p}{2^n}\right)y \in B$$
Ensuite, on fixe $(x,y)\in B^2$ et $t\in \left]0,1\right[$ et on veut montrer que $z=tx+(1-t)y\in B$.
Suivant l'idée de Jacqueline Mercier, pour $n\in\mathbb{N}$, on pose $t_n = \frac{\lfloor{2^n t\rfloor}}{2^n}$, qui est dyadique et dans $\left]0,1\right[$ et $\gamma_n=\frac{t_n(1-t)}{t(1-t_n)}$ qui est lui aussi dans $\left]0,1\right[$.
Puisque $y\in B$, $\gamma_n y\in B$ et donc, d'après la récurrence précédente, $z_n=t_n x+ (1-t_n)(\gamma_n y) \in B$.
Or $z = \frac{t}{t_n} z_n$ donc $N(z)=\frac{t}{t_n}N(z_n) \leq \frac{t}{t_n}$.
Puisque $\frac{t}{t_n}\rightarrow 1$, on en déduit (enfin) que $z\in B$ et donc $B$ est convexe, comme voulu.
Merci Jacqueline Mercier pour tes précisions et ton aide.
Merci Bisam d'avoir donné la démonstration en plus clair avec des quantificateurs et tout.
Merci à tous ceux qui ont participé au sujet aussi, on apprend de toutes les interventions ^^
Le fait est que c'est possible en prouvant juste par le calcul direct que
Il te suffit pour cela de redisposer le post de bisam (10 mn de travail si tu calcules bien, 20mn sinon, à la louche)
Par contre, sans le "$e>0$", c'est peut-être pas si aisé que ça (voir pas du tout possible, si on donne un sens acceptable à possible ici)
Merci pour le scan.