norme

Bonjour Sakura
Tu poses, en supposant que ces expressions aient un sens :

$||F||_1 = \underset{x\in E, x\neq 0}{sup} \dfrac{||F(x)||}{||x||}$

$||F||_2 = \underset{x\in E, x\neq 0, ||x||\leq 1}{sup} ||F(x)||$

$||F||_3 = \underset{x\in E, ||x||= 1}{sup} ||F(x)||$

Il est d'abord clair que $||F||_3 \leq ||F||_2$

Pour tout $x\in E$ tel que $x\neq 0$ $||F(x)||_E \leq ||F||_1.||x||$, relation qui est encore vraie si $x=0$.
D'où pour tout $x \in E$ tel que $||x|| \leq 1, ||F(x)|| \leq ||F||_1$. En passant au sup, il vient que $||F||_2 \leq ||F||_1$

Montrons enfin que $||F||_1 \leq ||F||_3$. On suppose $||F||_1 \neq 0$.
Alors par définition de $||F||_1$ : $\forall \varepsilon >0, \exists x \in E-\{0\}$ tel que $||F(x/||x||)|| = \dfrac{||F(x)||}{||x||}\geq ||F||_1 - \varepsilon$

Or $y=x/||x||$ est de norme 1 donc $||F(y)|| \leq ||F||_3$ et donc $||F||_3 \leq ||F||_1 - \varepsilon$

Ceci étant vrai pour tout $\varepsilon > 0$ on a $||F||_3 \geq ||F||_1$

Finalement $||F||_1 = ||F||_2 = ||F||_3$

C'est du cours.