les espaces métriques

naforito
naforito
dans Topologie
Bonjour

Est ce que toute boule fermée dans un espace métrique est compacte ?(sinon un contre exemple )

Merci

Réponses

  • gb
    gb
    Bonjour,

    Dans l'espace des polynômes à coefficients réels muni de la distance :
    \[d(P,Q) = \max_{n\in\mathbf{N}} \left( \frac{\bigl\lvert P^{(n)}(0)-Q^{(n)}(0) \bigr\rvert}{n!} \right)\]
    la boule unité fermée n'est pas compacte.
  • Chaurien
    Chaurien
    D'une façon générale, dans un espace vectoriel normé de dimension infinie une boule fermée n'est pas compacte (Riesz).
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Dans $\R$ muni de la distance $d(x,y) = |x-y|$ si $|x-y| \leq 1$, $d(x,y)=1$ sinon, la boule fermée centrée en $0$ de rayon $1$ n'est pas compacte.

    En fait, un espace métrique dans lequel toute boule fermée est compacte est un espace propre (mon exemple fournit un exemple d'espace localement compact non propre)
  • Seirios
    Seirios
    La distance SNCF donne également un contre-exemple. On peut aussi prendre n'importe quel graphe non localement fini.
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Bonjour!

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