Différence entre espace normé réel / complexe
Bonsoir
Voici un exercice qui devrait rendre plus clair une différence entre un espace normé réel et un espace normé complexe, mais malheureusement, je pense que j'ai mal compris l'énoncé en lui-même, pourtant j'ai essayé de résoudre suivant ce qu'il m'a parut correct. J'espère que vous pourrez m'aider afin de mieux comprendre.
L'énoncé : Soit $E$ un espace vectoriel complexe et $N$ une norme sur $E$ considéré comme un espace vectoriel réel. On suppose que l'homothétie de rapport $i$ est continue dans $(E,N)$. Établir l'existence d'une norme $M$ sur $E$, considéré comme espace vectoriel complexe, qui est équivalente à $N$.
D'abord je suppose que "$ N$ est une norme sur $E$ considéré comme espace vectoriel réel" veut dire qu'on ne peut écrire de scalaire complexe à l'intérieur de $N$ n'est-ce pas ? Car $E$ considéré comme espace vectoriel réel alors il contient les $\lambda x$ où $\lambda $ est réel. Et est-ce qu'on "On suppose l'homothétie de rapport $i$ est continue" demande, afin de démontrer cette supposition, des connaissances hors programme ? Normalement pour la vérifier une norme définie sur $E$ comme $\mathbb C$-espace vectoriel pour utiliser la caractérisation de la continuité pour les applications linéaires.
Bon je passe à ce que j'ai essayé de faire, en fait, si on prend $M$ l'application linéaire qui à $x$ associe $N(x) $, et $M(\lambda x)=N(\lambda x)$ si $\lambda $ est réel et $M(\lambda x)=|\lambda |N(x)$ si $\lambda $ n'est pas réel. Alors cette application $M$ est bien une norme et est équivalente à $N$ (on a même pour tout $x$ de $E,\ N(x)=M(x) $).
Je veux ajouter que j'ai le corrigé au cas où. Mais comme j'ai précisé plus haut, j'aimerais plus comprendre...
J'espère que vous pourrez me guider dans la bonne voie.
Merci d'avance.
Voici un exercice qui devrait rendre plus clair une différence entre un espace normé réel et un espace normé complexe, mais malheureusement, je pense que j'ai mal compris l'énoncé en lui-même, pourtant j'ai essayé de résoudre suivant ce qu'il m'a parut correct. J'espère que vous pourrez m'aider afin de mieux comprendre.
L'énoncé : Soit $E$ un espace vectoriel complexe et $N$ une norme sur $E$ considéré comme un espace vectoriel réel. On suppose que l'homothétie de rapport $i$ est continue dans $(E,N)$. Établir l'existence d'une norme $M$ sur $E$, considéré comme espace vectoriel complexe, qui est équivalente à $N$.
D'abord je suppose que "$ N$ est une norme sur $E$ considéré comme espace vectoriel réel" veut dire qu'on ne peut écrire de scalaire complexe à l'intérieur de $N$ n'est-ce pas ? Car $E$ considéré comme espace vectoriel réel alors il contient les $\lambda x$ où $\lambda $ est réel. Et est-ce qu'on "On suppose l'homothétie de rapport $i$ est continue" demande, afin de démontrer cette supposition, des connaissances hors programme ? Normalement pour la vérifier une norme définie sur $E$ comme $\mathbb C$-espace vectoriel pour utiliser la caractérisation de la continuité pour les applications linéaires.
Bon je passe à ce que j'ai essayé de faire, en fait, si on prend $M$ l'application linéaire qui à $x$ associe $N(x) $, et $M(\lambda x)=N(\lambda x)$ si $\lambda $ est réel et $M(\lambda x)=|\lambda |N(x)$ si $\lambda $ n'est pas réel. Alors cette application $M$ est bien une norme et est équivalente à $N$ (on a même pour tout $x$ de $E,\ N(x)=M(x) $).
Je veux ajouter que j'ai le corrigé au cas où. Mais comme j'ai précisé plus haut, j'aimerais plus comprendre...
J'espère que vous pourrez me guider dans la bonne voie.
Merci d'avance.
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Réponses
Par contre la multiplication par \(i\), c.-à-d. l'application \(x \mapsto ix\) est un endomophisme de \(E\), aussi bien pour la structure de \(\mathbb R\)-espace vectoriel que pour celle de \(\mathbb R\)-espace vectoriel.
Puisque \(N\) est une norme sur le \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(E\), et qu'on n'a, a priori pas de norme sur le \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(E\), la continuité de la multiplication par \(i\) concerne la première structure : caractérise cette continuité et essaie de prouver que, pour tout élément \(x\) de \(E\) : \(N(ix) = N(x)\).
Tu auras la relation : \(N(\lambda x)= \lvert \lambda \rvert N(x)\) lorsque \(\lambda\) est réel et lorsque \(\lambda=i\) ; il faudra alors le déduire pour tout nombre complexe \(\lambda\).
> essaie de prouver que, pour tout élément \(x\) de \(E\) : \(N(ix) = N(x)\).
> Tu auras la relation : \(N(\lambda x)= \lvert \lambda \rvert N(x)\) lorsque \(\lambda\) est
> réel et lorsque \(\lambda=i\) ; il faudra alors le déduire pour tout nombre complexe \(\lambda\).
Bonsoir,
Je m'excuse je voulais dire que l'homothétie est linéaire.
J'ai tenté de mettre en œuvre vos indications mais en vain. En fait, on ne peut parler de continuité sans avoir des evns, et puisqu'à priori on n'a pas de normes sur E, je ne comprends pas d'où vient la supposition dans l'énoncé de la continuité de l'homothétie.
Dans votre message vous vouliez parler de M ?
Merci d'avance.
Je suis d'accord, sauf que l'image h(x)=ix est dans E en tant que C-espace vectoriel, sur lequel on n'a pas défini encore de normes. Or avant de parler de continuité d'une application on prend les ensembles de départ et d'arrivée comme normés.
Il en résulte : $N(x)=N(-x)=N(i·ix) \le kN(ix) \le k^2 N(x)$, d'où $k \ge 1$.
Si $\lambda \in \mathbb C$, $ \lambda =\alpha+i \beta$, $\alpha \in \mathbb R$, $\beta \in \mathbb R$, et $x \in E$, alors :
$N(\lambda x) \le N(\alpha x) +N(\beta ix) \le (|\alpha|+k |\beta|) N(x) \le k(|\alpha|+ |\beta|) N(x) \le k |\lambda| \sqrt {2} N(x)$.
Mais je ne vois pas que faire de ça.
Autre idée : $N_1(x)=N(ix)$ est une autre norme sur le $\mathbb R$-espace vectoriel $E$, équivalente à $N$ parce que $ \frac {N(x)}{k} \le N(ix) \le kN(x)$.
Peut-être en touillant $N$ et $N_1$ on obtiendra $M$. Mais je ne vois pas non plus.
C'était juste dans l'espoir de faire avancer le schmilblick.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Je comprends mieux maintenant, merci pour votre aide Poirot et Chaurien.
Sinon, si on ajoute la propriété d'homogénéité pour les scalaires complexes à la norme $N$ alors on aura une norme définie sur le $\mathbb C$-ev $E$. Donc si on prend $M$ c'est totalement la norme $N$, et qu'on lui ajoute cette propriété on a bien ce qu'on veut non ?
$M:E\rightarrow R_{+}$ telle que quelque soit $x \in E$, $M(x)=N(x)$ et quelque soit le scalaire réel $\lambda $, $M(\lambda x)=N(\lambda x)$ et si c'est un scalaire complexe non réel alors on écrit simplement : $M(\lambda x)=|\lambda |N(x)$ obtient une norme sur $E$, on n'a pas d'une certaine façon amélioré $N$ ou quelque chose du genre ? Car définie de cette façon on a tout simplement $M=N$, seulement on a ajouté une propriété de plus, c'est comme si on a agrandi l'espace de définition de $N$. Je ne sais pas si cela répond à la question...
Au final, on a seulement une inégalité comme l'a montré Chaurien ce qui ne permets pas de définir une norme sur le corps des nombres complexes.
Personnellement, je ne vois pas comment on pourrait s'en tirer.
PolVano, que dit le corrigé ? (Je soupçonne une erreur)
Par contre, on agrandit pas l'espace E, le but de l'exercice est de trouver une norme pour la structure de C-espace vectoriel qui soit équivalente à N.
Il est dit dans le corrigé que si $M$ convient, la valeur de $M(\lambda x)$ pour $\lambda \in \mathbb C$ et $x\in E$ ne doit dépendre que du module de $\lambda $. On a donc assez vite l'idée de poser $M(x)=\sup_{|\lambda |=1}N(\lambda x)=\sup_{\theta \in \mathbb R}N(e^{i\theta }x)$.
Je ne comprends pas très pourquoi par contre.
Si on définit $M$ ainsi, on a pour $\lambda \in \mathbb C$ et $x \in E$, en posant $\lambda = |\lambda| e^{i \theta},\ \theta \in \mathbb R$:
$M(x) = \sup\limits_{t \in \mathbb R} N(e^{it} |\lambda| e^{i \theta} x) =|\lambda| \sup\limits_{|\alpha| =1} N(\alpha x) = |\lambda| M(x).$
Je te laisse vérifier les deux autres propriétés qui font de $M$ une norme.
Ensuite, il existe une constante $k > 1$ (voir message de Chaurien) telle que : $\ N(\lambda x) \leq k |\lambda| N(x).$
Donc pour $\lambda$ différent de zéro : $N(x) = N(\frac{1}{\lambda} \lambda x) \leq k \frac{1}{|\lambda|} N(\lambda x).$
On en déduit : $\frac{1}{k} |\lambda| N(x) \leq N(\lambda x) \leq k |\lambda| N(x).$
Puis : $\frac{1}{k} N(x) \leq M(x) \leq k N(x).$
Ce qui montre que $M$ est équivalente à $N$.
Je vous remercie pour votre aide. La vérification de norme s'est déroulée avec succés. Merci tous pour votre aide.
Une question me tracasse : est-ce que le choix de la borne supérieure est évident s'il vous plait? Je ne vois pas comment on s'est décidé de ce choix.
Merci d'avance
Je ne pense pas que ce soit évident sinon tu aurais eu la bonne réponse assez vite sur ce forum.
Prendre la borne sup est une idée que l'on peut avoir lorsqu'on est bien entraîné.
Je vous remercie pour votre réponse et toute votre aide.