Frontière espace métriques

De manière générale, dans un espace topologique (ce que sont les espaces métriques et espaces vectoriels normés), la frontière d'une partie $A$ est l'adhérence de $A$ privée de l'intérieur de $A$.

L'exemple que tu cites n'est en effet pas en général la frontière d'une boule dans un espace métrique.

Tu prends la boule fermée centrée en 0 de rayon 1, mais dans quel espace ?

Restons dans les espaces métriques, qui comprennent les espaces normés comme cas particulier. Pour un espace métrique, la définition de la frontière d'une partie est celle qu'a donnée Poirot. Un espace vectoriel normé étant un cas particulier d'espace métrique, c'est la même définition.

Il y a d'autres définitions de la frontière, formellement distinctes mais logiquement équivalentes, mais ce sera toujours dans un espace métrique, et chacune de ces définitions sera donc la même dans un espace vectoriel normé.

Dans un espace métrique $E$, une boule ouverte est un ensemble ouvert, une boule fermée est un ensemble fermé, une sphère est un ensemble fermé. Soit $a \in E$, $r \in \mathbb R_+^*$. L'intérieur de la boule fermée $B'(a,r)$ contient la boule ouverte $B(a,r)$, l'adhérence de la boule ouverte $B(a,r)$ est incluse dans la boule fermée $B'(a,r)$, la frontière de la boule ouverte $B(a,r)$ (resp. de la boule fermée $B'(a,r)$ ) est incluse dans la sphère $S(a,r)$.

Dans un espace vectoriel normé $E$, l'intérieur de la boule fermée $B'(a,r)$ est la boule ouverte $B(a,r)$, l'adhérence de la boule ouverte $B(a,r)$ est la boule fermée $B'(a,r)$, la frontière de la boule ouverte $B(a,r)$ (resp. de la boule fermée $B'(a,r)$ ) est la sphère $S(a,r)$.

On peut trouver des exemples d'espaces métriques où les propriétés signalées pour un espace normé ne sont pas vérifiées. On prend généralement pour exemple un espace métrique qui est une partie d'un espace normé, muni de la distance induite.

Attention à la notion de frontière. Il me semble qu'on a prouvé dans un fil assez ancien que dans un espace vectoriel normé tout ensemble fermé est un ensemble-frontière.

Bonne journée.
Fr. Ch.
13/01/2018

Il me semble que la définition qu'essaie de restituer CIT dans son dernier avant-message est celle-là:
$Fr(A) = \{x\in X \mid \forall r>0,\,B(x,r)\cap A \ne \emptyset \text{ et }B(x,r)\cap \complement A \ne \emptyset\}$

Il n'est pas difficile de voir que cette définition est équivalente à la définition déjà donnée par Poirot et gb, dans le cas particulier d'un espace métrique (donc pour une topologie engendrée par les boules ouvertes). Par contre, ça n'a rien à voir avec le reste du message de CIT ou avec des sphères.

En particulier, « Alors la frontière est { y tq d(x,y)=r } on a utilisé la définition que Poirot a citée » : jamais de la vie !

EDIT : grillé X:-(

La définition donnée par Le Lui ou un Autre, c'est à elle que je pensais lorsque j'évoquais des définitions formellement distinctes mais logiquement équivalentes. Elle peut s'exprimer par : $Fr(A)=\overline{A}\cap \overline{\mathbf{\complement }_{E}A}$. C'est ma définition préférée, je trouve que c'est la définition la plus parlante et la plus naturelle de la frontière. Un point-frontière d'un ensemble $A$ est un point tel que, dans tout voisinage de ce point, il y a des points de l'ensemble $A$ et aussi des points qui ne sont pas dans l'ensemble $A$.
Ceci rejoint la définition raisonnable de toute frontière, par exemple entre les pays.

Un avantage de cette définition c'est qu'elle fait immédiatement apparaître que $Fr(A)$ est un ensemble fermé. Et elle est mieux adaptée pour étudier les propriétés de cet ensemble-frontière.
Bonne après-midi,
Fr. Ch.
NB. Et merci à Le Lui ou un Autre, je ne savais pas comment écrire $\mathbf{\complement }$. Ce forum est vraiment très utile pour apprendre.

CIT a écrit:

Je n’en suis pas sûr mais les éléments de la boule ouverte (3,2) son les x qui vérifient: 1< x

Donc 100 appartient à la boule ouverte de centre 3 et de rayon 2…

Ce qui m'impressionne le plus, c'est la notation des sous-ensembles finis de \(\mathbf{N}\).

M'enfin !!!

Il est donc si difficile de voir que, dans \(\mathbf{N}\) muni de la distance usuelle donnée par la valeur absolue :

1. La boule fermée de centre 3 et de rayon 2 est l'ensemble : \(\lbrace1,2,3,4,5\rbrace\) ; cet ensemble est fermé en tant que boule fermée.

2. La boule ouverte de centre 3 et de rayon 2 est l'ensemble : \(\lbrace2,3,4\rbrace\) ; cet ensemble est ouvert en tant que boule ouverte.

3. La boule ouverte de centre 3 et de rayon 3 est l'ensemble : \(\lbrace1,2,3,4,5\rbrace\) ; cet ensemble est ouvert en tant que boule ouverte.

On s'intéresse à la frontière de la boule de centre fermée de centre 3 et de rayon 2, c'est-à-dire (point 1) à l'ensemble \(\lbrace1,2,3,4,5\rbrace\).

Cet ensemble est fermé (point 1) donc égal à son adhérence.
Cet ensemble est ouvert (point 3) donc égal à son intérieur.

La frontière de cette ensemble est donc vide : ce n'est pas la sphère de centre 3 et de rayon 2 qui est : \(\lbrace1,5\rbrace\).

Au passage, l'intérieur de la boule fermée de centre 3 et de rayon 2 est la boule fermée elle-même (point 3), et n'est pas la boule ouverte de centre 3 et de rayon 2 (point 2).