Caractérisation des topologies d'un ensemble

elidiot
elidiot
dans Topologie
Bonjour,
On peut donner plusieurs definitions équivalentes d'une topologie sur un ensemble : par les ouverts, les fermés, les voisinages, l'application adhérence ou intérieur, et je n'en connais pas d'autres. J'ai essayé d'en trouver d'autres et j'ai pensé à une mais je n'arrive pas à montrer que ça marche, je viens vous demander un coup de pouce car je ne sais pas si c'est vrai : est-ce qu'on peut caractériser une topologie sur un ensemble par l'ensemble des fonctions continues de X dans X ? Il me faudrait montrer que si X est un ensemble, T1 et T2 deux topologies telles que les fonctions continues de X dans X sont les mêmes pour ces deux topologies alors elles sont égales...
Merci à vous

Réponses

  • Le Lui ou un Autre
    Le Lui ou un Autre
    Toutes les fonctions de $X$ dans $X$ sont continues pour les topologies grossière et discrète.
    Tu peux aussi considérer $X$ tel que $|X|>\aleph_0$ et $\tau$ engendré par $\{X\backslash \{x\} \mid x \in X\}\cup X \cup \emptyset$.

    Par contre, essayer de caractériser une structure à l'aide des morphismes qui préservent cette structure, c'est une idée fondamentale de la théorie des catégories.

    EDIT : Il faudrait vraiment que je me relise plus longtemps avant de poster des bêtises ! J'espère que c'est corrigé maintenant.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    En revenant sur l'idée de @Le Lui ou l'autre, on peut effectivement caractériser la topologie par les applications continues qui partent de (ou sortent de) $X$. Un bon espace pour voir ça est l'espace de Sierpinski $S$. En effet, l'ensemble des applications continues $X\to S$ est en bijection naturelle avec $\mathcal{O}(X)$ (les ouverts de $X$).

    Donc si $\mathbf{Top}((X,T_1),S) = \mathbf{Top}((X,T_2), S)$, alors $T_1=T_2$ (bon j'ai ici utilisé des $=$ ce qui va contre le paradigme catégorique suggéré par @LeLuioul'autre, mais comme la question initiale demande un $=$...)

    Ainsi ça pourrait t'intéresser de définir la topologie comme un ensemble d'applications $X\to S$, et de voir les propriétés que cet ensemble d'applications doit vérifier pour qu'il induise bien une topologie.
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