Complété corps valué.
Salut à tous. (Attention niveau L3).
Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du [large]C[/large]auchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.
Pour prolonger la norme je pense qu'on peut considérer que $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).
Pour montrer que $K'$ est un corps, je pense que c'est bon et même j'espère !
Pour montrer que la norme se prolonge, ok !
Il me reste à montrer que $K$ est dense mais je m'embrouille dans mon quotient (et ma bêtise). Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
[Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du [large]C[/large]auchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.
Pour prolonger la norme je pense qu'on peut considérer que $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).
Pour montrer que $K'$ est un corps, je pense que c'est bon et même j'espère !
Pour montrer que la norme se prolonge, ok !
Il me reste à montrer que $K$ est dense mais je m'embrouille dans mon quotient (et ma bêtise). Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
[Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
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Faute de frappe : sans doute $K'$ est-il défini comme $C/I$ et pas $K/I$.
On fixe $\epsilon>0$ et un élément $x\in K'$. On choisit une suite de Cauchy $(u_n)\in C$ dont l'image dans $K'$ est $x$. On trouve $N\in\N$ tel que pour $p,q\ge N$, $|u_p-u_q|\le\epsilon$. La norme de $u_N-x$ (où $u_N$ est identifié à la classe dans $K'$ de la suite constante égale à $u_N$) ne devrait pas être très grande. -
Vous chercher plutôt à montrer que l'anneau quotient $C/I=K'$ est un corps valué dans lequel le corps valué $K$ s'injecte densément.
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Faut de frappe merci je vais corriger.
-
Merci Math Coss.
On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N\in\N$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$. -
Hold on! Qui dit que la limite $\lim_{p\to\infty}|u_N-u_p|$ existe ? Ah oui, c'est parce que la norme est bien définie sur $K'$ plus haut (autrement dit parce que la suite réelle $\bigl(|u_N-u_p|\bigr)_{p\in\N}$ est de Cauchy). OK pour moi donc.
Edit: ajout de la parenthèse. -
Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.
Maintenant j'aimerais conclure : $K'$ est complet.
Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$, converge-t-elle vers un élément de $K'$ ?
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,n} - a_{q,n}| + |a_{q,n} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,n}| $
Donc $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$. -
Après je bloque.
-
Le « donc $(b_n)$ est dans $C$ » me paraît un peu rapide, le choix des quantificateurs est un peu délicat ici (d'autant que tu inverses le rôle de $n$ et $p$ par rapport à la ligne précédente) – question de confiance...
Mais après, eh bien, c'est fini ! Si la suite $(b_n)$ est de Cauchy, sa classe $b$ dans $K'$ est un élément de $K'$ qui est un bon candidat pour la limite de la suite de Cauchy. Et d'ailleurs, la suite $(b_n)$ peut être vue comme une suite d'éléments de $K'$ qui converge vers $b$ (pourquoi au fait ?) et les inégalités $|a_n-b_n|\le2^{-n}$ permettent de conclure. -
(:P) Si ce n'est pas clair les indices alors je refais, question de confiance.
Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$, converge-t-elle vers un élément de $K'$ ?
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $
Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$
Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$ si je ne m'abuse.
Alors à présent.
Mais après, eh bien, c'est fini ! Si la suite $(b_n)$ est de Cauchy, sa classe $b$ dans $K'$ est un élément de $K'$ qui est un bon candidat pour la limite de la suite de Cauchy.
Et d'ailleurs, la suite $(b_n)$ peut être vue comme une suite d'éléments de $K'$ qui converge vers $b$ (pourquoi au fait ?).
Parce que... $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante.
Qui converge vers $b$ ? Déjà $b = (b_n)_{n\in \mathbb N} + I$ et converger vers $b$ ça veut dire $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty} \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}| b_{p,n} - b_{n} | = 0 = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |b_{p} - b|$
En fait il faut regarder l'opération "-" ici c'est entre une suite est un élément de $K$. On va dire qu'il sont confondus du coup je prétends que $b_{p} - b = 0$.
Et les inégalités $|a_n-b_n|\le2^{-n}$ permettent de conclure.
On peut écrire $|a_{n} - b| \le 2^{-n}$ d'après ce qui précède. -
Si c'est correct pouvez-vous me le dire (:P)
-
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*Je reprends tout à zéro vous pouvez me répondre juste en lisant ceci !*
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Énoncé : Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du Cauchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.
Preuve : Pour prolonger la norme on considère $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).
- $K'$ est un corps
- $I$ un idéal de $C$ car Cauchy implique bornée entres autres.
- $K$ est dense : On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N\in\N$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$.
Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.
- $K'$ est complet : Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$.
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $
Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$
Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$
Ensuite $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante et cette suite de suite converge vers la suite $b$.
En effet ??? [Je bloque ici]
On peut écrire $|a_{n} - b| \le 2^{-n}$ d'après ce qui précède.
Ce qui conclut. -
Vous pouvez la refaire autrement si vous voulez...
-
Bonjour,
Si tu définis directement la suite \(b\), à valeurs dans \(K\), par :
\[\forall n\in\mathbf{N} \quad b_n = a_{n,n},\]
ne pourrais-tu prouver que c'est une suite de Cauchy, donc un élément de \(C\) qui représente un élément \(\bar b\) de \(K'\), puis prouver que la suite \((a_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers \(\bar b\) dans \(K'\) ? -
Je ne vois pas comment montrer qu'elle est de Cauchy mais on m'a aidé à boucher le trou merci quand même .
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Au passage... Je me demande si je possède un autre corps $L$ complet, dans lequel $K$ est dense alors y a-t-il un isomorphisme de corps entre $L$ et $K'$ ?
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En page 3 ici je pense qu'il y a la preuve mais je ne la comprends pas, quelqu'un pourrait me l'expliquer s'il vous plaît.
http://math.univ-bpclermont.fr/~diarra/coursDEA.pdf -
Décidément ce post ne vous inspire pas.
-
Je parle juste de l'unicité du complété d'un corps valué.
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Le complété d'une espace métrique est toujours unique à isométrie près.
-
Une fois que tu as complété $\mathbb{R},$ c'est la base.... Tu as accès au théorème de prolongement des applications uniformément continues (et donc à la remarque de Poirot)
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Bonjour!
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