Complété corps valué.

Faut de frappe merci je vais corriger.

Après je bloque.

(:P) Si ce n'est pas clair les indices alors je refais, question de confiance.

Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$, converge-t-elle vers un élément de $K'$ ?
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $

Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$

Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$ si je ne m'abuse.

Alors à présent.

Mais après, eh bien, c'est fini ! Si la suite $(b_n)$ est de Cauchy, sa classe $b$ dans $K'$ est un élément de $K'$ qui est un bon candidat pour la limite de la suite de Cauchy.
Et d'ailleurs, la suite $(b_n)$ peut être vue comme une suite d'éléments de $K'$ qui converge vers $b$ (pourquoi au fait ?).
Parce que... $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante.
Qui converge vers $b$ ? Déjà $b = (b_n)_{n\in \mathbb N} + I$ et converger vers $b$ ça veut dire $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty} \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}| b_{p,n} - b_{n} | = 0 = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |b_{p} - b|$
En fait il faut regarder l'opération "-" ici c'est entre une suite est un élément de $K$. On va dire qu'il sont confondus du coup je prétends que $b_{p} - b = 0$.

Et les inégalités $|a_n-b_n|\le2^{-n}$ permettent de conclure.
On peut écrire $|a_{n} - b| \le 2^{-n}$ d'après ce qui précède.

************************************************************************************************************************************************************
*
* *
*
*************************************************************************************************************************************************************


Énoncé : Soit $K$ un corps muni d'une valeur absolue.
Soit $C$ l'anneau des suites du Cauchy du corps $K$ et $I$ l'idéal de suites de $K$ qui converge vers $0$.
Je cherche à montrer que $C/I = K'$ est un corps muni de la même norme que $K$ (qu'on va prolonger) et que $K$ (confondu avec son image dans $K'$) est dense.

Preuve : Pour prolonger la norme on considère $ \bar{a} \in K', | \bar{a} | = \lim_{n \rightarrow +\infty} |a_{n}|$ (ça ne dépend pas du représentant).

- $K'$ est un corps

- $I$ un idéal de $C$ car Cauchy implique bornée entres autres.

- $K$ est dense : On fixe $\epsilon>0$ et un élément $ p\big((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\big) = x\in K'$. avec $(u_n)\in C$.
On trouve $N\in\N$ tel que pour $p,q\ge N$, $\ |u_p-u_q|\le\epsilon$. En particulier $\forall p \ge N, \ |u_{N} - u_{p}| \le \epsilon$ donc $\lim\limits_{p\rightarrow + \infty } |u_{N} - u_{p}| = |u_N-x| \le \epsilon$.

Au final on a montré qu'on pouvait trouver un élément de $K$ (identifier à une suite constante) arbitrairement proche d'un élément de $K'$ donc $K$ est dense dans $K'$.

- $K'$ est complet : Soit $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $K'$.
Comme $K$ est dense dans $K'$ alors $\forall n\in \mathbb{N},\ \exists b_{n} \in K ,\ |a_{n} - b_{n}| = \lim\limits_{p\rightarrow + \infty} |a_{n,p} -b_{n}| \le 2^{-n}$.
$|b_{q} - b_{q}| \le |a_{p,r} - a_{q,r}| + |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| $

Lorsque $r > N_{1}, |a_{q,r} - b_{q}| + |b_{p} - a_{p,r}| \le 2^{-p} + 2^{-q}$

Lorsque $p,q > N_{2}, 2^{-p} + 2^{-q} < \epsilon$ et plus de $|a_{p,r} - a_{q,r}| < \epsilon $ car $p,q > N_{\epsilon},\ \lim\limits_{r\rightarrow + \infty} |a_{p,r} -a_{q,r}| \le \epsilon $
Au final si on prend $p,q > \max(N_{2}, N_{\epsilon})$ et $r > N_{1}$ on a que $(b_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est dans $C$

Ensuite $(b_{n})_{n\in \mathbb N}$ est une suite d'élément de $K$ donc une suite de suite constante et cette suite de suite converge vers la suite $b$.
En effet ??? [Je bloque ici]

On peut écrire $|a_{n} - b| \le 2^{-n}$ d'après ce qui précède.
Ce qui conclut.

Au passage... Je me demande si je possède un autre corps $L$ complet, dans lequel $K$ est dense alors y a-t-il un isomorphisme de corps entre $L$ et $K'$ ?

Décidément ce post ne vous inspire pas.