Espace $(B(A,F),||.||_{\infty})$ complet

C'est ça. Si tu prends directement un espace de fonctions bornées il n'y a rien de plus à faire, les normes infinis sont bien définies. On prend une suite de Cauchy, le fait d'employer la norme infinie permet de particulariser le caractère de Cauchy en chaque point, l'hypothèse de complétude de l'espace à l'arrivée garantit l'existence d'une limite simple, et le caractère de Cauchy pour la norme infinie permet de récupérer la convergence uniforme.